Методы решения физико-математических задач

Совместное восстановление функции распределения квадрупольного расщепления и зависимости изомерного сдвига по данным мессбауэровских спектров

Журнал вычислительной математики и математической физики Том 30 №9 (отдельный оттиск).
Показано, что для несимметричных мессбауэровских спектров, представляющих собой суперпозицию дублетов, при определенных условиях можно восстановить функцию распределения квадрупольного расщепления и определить зависимость изомерного сдвига как функции поля.

§1. Введение

При интерпретации мессбауэровских спектров непрерывными методами важное значение имеет восстановление функции распределения сверхтонких полей на резонансных ядрах. С математической точки зрения, речь идет о решении интегрального уравнения [1]
(1.1)  
с ядром
(1.2)   ,
где – соответственно, весовые и полевые коэффициенты, – изомерный сдвиг как функция от поля. Функция может быть однозначным образом представлена в виде свертки [2],   [3]
(1.3)  
с ядром
,
где – положительно определенная функция.

При известной зависимости уравнение (1.1) является линейным интегральным уравнением Фредгольма I рода. Для его решения применяется метод регуляризации [4]. Однако на практике зависимость изомерного сдвига от поля не известна. В настоящей работе строится решение и для случая чисто квадрупольного расщепления .

§2. Построение решения

Исходное интегральное уравнение можно преобразовать, получив более простое, поскольку
.
Здесь – функция Дирака. Подставляя это выражение, а также (1.3) в (1.1),   (1.2), получаем
.
Воспользовавшись единственностью решения этого уравнения, приходим к более простому уравнению
(2.1)   .

Введем функции и переменной из соотношений
.
Нетрудно видеть, что для их однозначного определения нужно считать выполненными условия
(2.2)   .
Вместе с функциями и введем в рассмотрение обратные функции и из соотношений
(2.3)   .
Функция возрастающая, а убывающая, так как, согласно (2.3),
(2.4)   .
Разность уравнений (2.3) дает
(2.5)   .
Будем считать, что функции и определены при ; тогда . При , согласно (2.5), и из (2.4) следует, что
.
Производя интегрирование в (2.1), получаем

откуда имеем
(2.6)   .
Подставляя в правую часть равенства (см. (2.5)), приходим к дифференциальному уравнению первого порядка для функции :
(2.7)   .
Если проинтегрировать второе уравнение в (2.6) по от до бесконечности и заменить в окончательном результате на , получим уравнение для функции в другой форме:
(2.8)   .
При оно дает начальное значение уравнения (2.7). Определив функцию по формулам (2.3), (2.5), (2.6), найдем и . Отметим, что (2.8) имеет решение, если сходится интеграл
.

§3. Устойчивость решения

Решение, определяемое из (2.8), неустойчиво относительно неточности в определении . Пусть – приближенная к функция, так что
(3.1)   .
В качестве приближенного решения уравнения (2.8) возьмем функцию , определяемую из
(3.2)   .
Параметр определяем таким образом, чтобы было
(3.3)   либо.

Верна следующая

Теорема
Пусть – приближенное решение уравнения (2.8), причем
– непрерывная положительная функция на всей вещественной оси и
при
(3.4)   .
Пусть – произвольное фиксированное положительное число.
Тогда если на всей вещественной оси равномерно,
то равномерно на сегменте .
Доказательство

Беря разность уравнений (2.8) и (3.2) и учитывая (3.1), находим



.
Далее, по условию (3.3),

,
или
(3.5)   .
Теперь покажем, что
(3.6)   .
Допустим противное: пусть существует такое и последовательность при , что . Тогда для всех . Устремляя к бесконечности, получаем для , что противоречит условию теоремы. Таким образом, учитывая (3.5) и (3.6), получаем

.
В то же время, вводя обозначения   и   , получаем
(3.7)   .

Допустим, что для отсутствует равномерная сходимость к , т. е. для любого существует такое и , что при
(3.8)  
имеем
.
При переходе от первого неравенства ко второму предполагалось, что выбором , учитывая (3.4), функцию , а с нею и всегда можно сделать положительными. Пусть минимальное значение на сегменте есть . Ввиду непрерывности существует такое , что при . Уменьшим , если потребуется, чтобы было ; тогда
,
или
.
И, устремляя к нулю, получаем, что
.
Однако это противоречит (3.8), так как, устремляя к нулю, из (3.7) получаем, что также стремится к нулю. Теорема доказана.

Список литературы
1. Литвинов В. С., Каракишев С. Д., Овчинников В. В. Ядерная гамма-резонансная спектроскопия сплавов. М.: Металлургия, 1982.
2. Шпинель В. С. Резонанс гамма лучей в кристаллах. М.: Наука, 1969.
3. Николаев В. И., Русаков В. С. Мессбауэровские исследования ферритов. М.: Изд-во МГУ, 1985.
4. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 16.06.89
Переработанный вариант 19.12.89

Авторы: О. Г. Одинцов, Е. А. Пушкарев.
Журнал вычислительной математики и математической физики, том 30, № 9, 1990 г.

Оригинал

Журнал вычислительной математики и математической физики Введение Построение решения Устойчивость решения Устойчивость решения продолжение список литературы
Меню