Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных
Русский  |  English
интегралов

Основные определения дифференциальных уравнений и их решений

Рассмотрены основные понятия и определения обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений.

Определение дифференциальных уравнений (ДУ)

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение   ,
где   – независимые переменные, y – функция и     – частные производные.
Обыкновенное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную,   .
Дифференциальное уравнение в частных производных – это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:

Вот пример уравнения четвертого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:

В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y. В первом случае y является функцией от x. Во втором случае x является функцией от y. Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′.
Разделив это уравнение на dx, мы получим:
.
Поскольку     и   , то отсюда следует, что
.

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

  • явную зависимость функции от переменной;
    Решение дифференциального уравнения – это функция y = u(x), которая определена, n раз дифференцируема, и .
  • неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений;
    Интеграл дифференциального уравнения – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
  • зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;
    Решение дифференциального уравнения в квадратурах – это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
  • решение может не выражается через элементарные функции.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C1, C2, C3, ... Cn. Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения – это соотношение вида , зависящее от n произвольных постоянных.
Общий интеграл дифференциального уравнения – это общее решение, которое имеет неявный вид
Частное решение дифференциального уравнения – это общее решение при заданных значениях постоянных C1, C2, C3, ... , Cn.
Частный интеграл дифференциального уравнения – это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1, C2, C3, ... , Cn.


Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Полезные ссылки:
Решение дифференциальных уравнений. Типы дифференциальных уравнений и методы их решения.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru