Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных
Русский  |  English
интегралов

Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения

Определение дифференциального уравнения Бернулли. Рассмотрены методы решения дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению и методом Бернулли. Дан пример подробного решения уравнения методом Бернулли.
Дифференциальное уравнение Бернулли – это уравнение вида:
, где n ≠ 0, n ≠ 1, p и q – функции от x.

Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению

Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1)   ,
где n ≠ 0, n ≠ 1, p и q – функции от x.
Разделим его на y n. При y ≠ 0 или n < 0 имеем:
(2)   .
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2) и преобразуем:
;
.
Это – линейное, относительно z, дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0, следует рассмотреть случай y = 0. При n > 0, y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.

Решение методом Бернулли

Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v,
где u и v – функции от x. Дифференцируем по x:
y′ = u′ v + u v′.
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
(3)   .
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)   .
Уравнение (4) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его и находим частное решение v = v(x). Подставляем частное решение в (3). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v – уже известная функция от x. Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv.

Пример решения дифференциального уравнения Бернулли

Решить уравнение

Решение

На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y – зависимой (то есть если y – это функция от x), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x – зависимой, то легко увидеть, что это – уравнение Бернулли.

Итак, считаем что x является функцией от y. Подставим     и умножим на   :
;
;
(П.1)   .
Это – уравнение Бернулли с n = 2. Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1), только обозначением переменных (xвместо y). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v,
где u и v – функции от y. Дифференцируем по y:
.
Подставим в (П.1):
;
(П.2)   .
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y), удовлетворяющую уравнению:
(П.3)   .
Разделяем переменные:
;
;
.
Положим C = 0, поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3).
;
.
Подставим в (П.2) учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3)):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0 имеем:
;
(П.4)   ;
.
Во втором интеграле делаем подстановку   :
;
.
Интегрируем по частям:
.
Подставляем в (П.4):
.
Возвращаемся к переменной x:
;
;
.

Ответ

.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru