Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде

Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего функцию y в явном виде. В таком уравнении порядок понижается с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
(1)   f(x,~y prime,~y prime prime,~y prime prime prime,~...,~y^(n)~)~=~0

Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:

y prime~=~u

Действительно, тогда:

y prime prime~=~(y prime) prime~=~u prime

y prime prime prime~=~(y prime) prime prime~=~u prime prime

...

y^(n)~=~(y prime)^(n-1)~=~u^(n-1)

И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:

f(x,~u,~u prime,~u prime prime,~...,~u^(n-1)~)~=~0

Пример

Решить уравнение:
y prime prime prime ~+~{y prime prime}^2 ~=~0

Решение

Делаем подстановку:

y prime prime ~=~u

Тогда:

y prime prime prime ~=~(y prime prime) prime ~=~u prime

Подставляем:

u prime ~+~u^2 ~=~0

Разделяем переменные:

du/dx ~=~minus u^2

При u ≠ 0 имеем:

du/{u^2} ~=~minus dx

Интегрируем:

int{~}{~}{du/{u^2}} ~=~minus int{~}{~}{dx}~=~minus x ~minus~C_1

Или:

minus~1/u~=~minus x ~minus~C_1

Отсюда:

y prime prime ~=~u~=~1/{ x ~+~C_1}

Интегрируем:

y prime ~=~int{~}{~}{dx/{ x ~+~C_1}}~=~ln delim{|}{x ~+~C_1}{|}~+~C_2

Интегрируем еще раз:

y ~=~int{~}{~}{(ln delim{|}{x ~+~C_1}{|})dx}~+~C_2 dot x

Интегрируем по частям:

int{~}{~}{(ln delim{|}{x ~+~C_1}{|})dx}~=~int{~}{~}{(ln delim{|}{x ~+~C_1}{|})d(x+C_1)}~=~

~=~(ln delim{|}{x ~+~C_1}{|})dot(x+C_1)~minus~int{~}{~}{(x+C_1)dot(ln delim{|}{x ~+~C_1}{|})^, dx}~=~

~=~(ln delim{|}{x ~+~C_1}{|})dot(x+C_1)~minus~int{~}{~}{(x+C_1)dot 1/(x ~+~C_1) dx}~=~

~=~(ln delim{|}{x ~+~C_1}{|})dot(x+C_1)~minus~int{~}{~}{ dx^{~}}~=~(x+C_1)~dot~ ln delim{|}{x ~+~C_1}{|}~minus~ x~+~C_3

Окончательно имеем:

y ~=~(x+C_1)~dot~ ln delim{|}{x ~+~C_1}{|}~minus~x~+~C_2~x~+~C_3

Заменим постоянную:

C_2~minus~1~right~C_2

 

Теперь рассмотрим случай:

y prime prime~=~u~=~0

u = 0 также является решением исходного уравнения. Интегрируем:

y prime~=~C_1

y~=~C_1~x~+~C_2

Ответ

y ~=~(x+C_1)~dot~ ln delim{|}{x ~+~C_1}{|}~+~C_2~x~+~C_3

y~=~C_1~x~+~C_2

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru