Методы решения физико-математических задач

Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде

Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде
Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего функцию y в явном виде. В таком уравнении порядок понижается с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Метод решения

Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
(1)   .
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки
.

Действительно, тогда:
;
;
...
.
И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:
.

Пример

Решить уравнение:

Решение

Делаем подстановку:
.
Тогда:
.
Подставляем:
.

Разделяем переменные:
.
При u ≠ 0 имеем:
.

Интегрируем:
.
Или:
.
Отсюда:
.

Интегрируем:
.
Интегрируем еще раз:
.

Интегрируем по частям:



.

Окончательно имеем:
.
Заменим постоянную:
.
Тогда
.

Теперь рассмотрим случай:
.
также является решением исходного уравнения. Интегрируем:
;
.

Ответ

;
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Меню