Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Определение однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрены свойства их решений.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами это уравнение вида

a0 y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = f(x);    ai = const;   a0 ≠ 0
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами это уравнение вида

a0 y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = 0;    ai = const;   a0 ≠ 0
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами это уравнение вида

a0 y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = f(x);    f(x) ≠ 0;   ai = const;   a0 ≠ 0

Здесь все коэффициенты ai - постоянные. n - порядок уравнения. Член f(x) называется неоднородной частью уравнения.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:

(1)   a_0 y^(n)~+~a_1 y^(n-1)~+~...~a_{n-1} y prime~+~a_n y~=~0

Общее решение такого уравнения можно записать в виде:

y~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2~+~...~C_{n-1} y_{n-1}~+~C_n y_n

где y1, y2, ... yn-1, yn - линейно независимые частные решения уравнения (1). Каждое из них удовлетворят уравнению (1):

a_0 {y_i}^(n)~+~a_1 {y_i}^(n-1)~+~...~a_{n-1} {y_i} prime~+~a_n {y_i}~=~0

В этом случае говорят, что функции y1, y2, ... yn-1, yn образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (1).

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (1) это n линейно независимых функций y1(x), y2(x), ... yn-1(x), yn(x), каждая из которых является решением уравнения (1).
Линейно независимые функции y1(x), y2(x), ... yn-1(x), yn(x) это такие функции, для которых соотношение:
α1 y1(x) + α2 y2(x) + ... + αn-1 yn-1(x) + αn yn(x) = 0
может выполняться только если все постоянные α1, α2, ..., αn-1, αn равны нулю.
Линейно зависимые функции y1(x), y2(x), ... yn-1(x), yn(x) это функции, между которыми имеет место линейная зависимость:
α1 y1(x) + α2 y2(x) + ... + αn-1 yn-1(x) + αn yn(x) = 0
где α1, α2, ..., αn-1, αn - постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.

Неоднородные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

(2)   a_0 y^(n)~+~a_1 y^(n-1)~+~...~a_{n-1} y prime~+~a_n y~=~f(x)

Пусть Y - частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (2) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:

y~=~y_0~+~Y~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2~+~...~C_{n-1} y_{n-1}~+~C_n y_n ~+~Y

Здесь

y_0~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2~+~...~C_{n-1} y_{n-1}~+~C_n y_n

- общее решение однородного уравнения:

a_0 {y_0}^(n)~+~a_1 {y_0}^(n-1)~+~...~a_{n-1} {y_0} prime~+~a_n {y_0}~=~0

Y- частное (любое) решение неоднородного уравнения:

a_0 Y^(n)~+~a_1 Y^(n-1)~+~...~a_{n-1} Y prime~+~a_n Y~=~f(x)

 

Часто встречается случай, когда неоднородная часть f(x) может быть представлена в виде суммы функций:

f(x)~=~f_1(x)~+~f_2(x)~+~f_3(x)~+~...

Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:

Y~=~Y_1~+~Y_2~+~Y_3~+~...

каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций fi(x):

a_0 {Y_i}^(n)~+~a_1 {Y_i}^(n-1)~+~...~a_{n-1} {Y_i} prime~+~a_n {Y_i}~=~f_i(x)

В некоторых случаях бывает легче решать отдельные частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получать частное решение для всего уравнения суммированием полученных частных решений.

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru