Методы решения физико-математических задач

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Даны определения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородных, неоднородных и общее определение). Рассмотрены свойства их решений.

Определения

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
– это уравнение, линейное относительно зависимой переменной y и ее производных:
(1)   .
Член f(x) называется неоднородной частью уравнения.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
– это уравнение вида (1), неоднородная часть которого равна нулю:
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
– это уравнение вида (1) с отличной от нуля неоднородной частью:
.

Здесь все коэффициенты ai – постоянные. nпорядок уравнения.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:
(2)   .
Общее решение такого уравнения можно записать в виде:
,
где – линейно независимые частные решения уравнения (2). Каждое из них удовлетворят уравнению (2):
.
В этом случае говорят, что функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (2).

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения
(2) – это n линейно независимых функций , каждая из которых является решением этого уравнения.

Линейно независимые функции
– это такие функции, для которых соотношение

может выполняться только если все постоянные равны нулю.

Линейно зависимые функции
– это функции, между которыми имеет место линейная зависимость:
,
где – постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.

Неоднородные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
(3)   .
Пусть Y – частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (3) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
.
Здесь – общее решение однородного уравнения:
;
Y – частное (любое) решение неоднородного уравнения:
.

Часто встречается случай, когда неоднородная часть может быть представлена в виде суммы функций:
.
Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:
,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций :
.
В некоторых случаях бывает легче решать отдельные частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получать частное решение для всего уравнения, суммированием полученных частных решений.

.     Опубликовано:   Изменено:

Меню