Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения

Определение дифференциального уравнения Эйлера. Рассмотрены методы его решения.
Дифференциальное уравнение Эйлера это уравнение вида

a0 xn y(n) + a1 xn-1 y(n-1) + ... + an-1 x y′ + an y = f(x)

В более общем виде уравнение Эйлера имеет вид:

a_0 (ax+b)^n y^(n)~+~a_1 (ax+b)^{n-1} y^(n-1)~+~cdots~+~a_{n-1} (ax+b)~ y prime~+~a_n y~=~f(x)

Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:

(1)   a_0 x^n y^(n)~+~a_1 x^{n-1} y^(n-1)~+~cdots~+~a_{n-1} x~ y prime~+~a_n y~=~f(x)

Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:

x = et

Действительно, тогда

dx~=~{d~(e^t)}/{dt}~dt~=~e^t~dt

y prime~=~dy/dx~=~{dy}/{e^t~dt}~=~e^{-t}~dy/dt

x~y prime~=~e^t~e^{-t}~dy/dt~=~dy/dt

 

y prime prime~=~{d y prime}/dx~=~{d(e^{-t}~dy/dt)}/{e^t~dt}~=~e^{-t}~({d e^-t}/{dt}~dy/dt~+~e^{-t}~{d^2 y}/{dt^2})~=~

~=~e^{-t}~(minus e^{-t}~dy/dt~+~e^{-t}~{d^2 y}/{dt^2})~=~e^{-2t}~({d^2 y}/{dt^2}~minus~dy/dt)

x^2~y prime prime~=~e^{2t}~e^{-2t}~({d^2 y}/{dt^2}~minus~dy/dt)~=~{d^2 y}/{dt^2}~minus~dy/dt

..........................

 

Таким образом, множители, содержащие xm, сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами.

Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:

(2)   a_0 x^n y^(n)~+~a_1 x^{n-1} y^(n-1)~+~cdots~+~a_{n-1} x~ y prime~+~a_n y~=~0

Ищем решение уравнения (2) в виде

y~=~x^k

x~y prime~=~x~(x^k)^,~=~~x~k~x^{k-1}~=~k~x^k

x^2~y prime prime~=~x^2~(x^k)^{,,}~=~~x^2~k(k-1)~x^{k-2}~=~k(k-1)~x^k

........................

x^n~y^(n)~=~x^n~(x^k)^(n)~=~k(k-1)cdots(k-n+2)(k-n+1)~x^k

Подставляем в (2) и, сокращая на xk, получаем характеристическое уравнение:

a_0~k(k-1)cdots(k-n+2)(k-n+1)+a_1~k(k-1)cdots(k-n+2)+cdots+a_{n-1}~k+a_n~=~0

Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными. Рассмотрим действительные корни. Пусть ki - кратный корень кратности m. Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:

y_i~=~x^{k_i};~y_{i+1}~=~ln{x}~x^{k_i};~y_{i+2}~=~(ln{x})^2~x^{k_i};~cdots~y_{i+m-1}~=~(ln{x})^{m-1}~x^{k_i}.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть ki - кратный корень кратности m. Выразим комплексный корень ki через действительную и мнимую части:

k_i~=~k_{1i}~+~i~k_{2i}

Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2m линейно независимых решений:

y_i~=x^{k_i} cos(k_2 ln{x});~~~y_{i+1}~=x^{k_i} sin(k_2 ln{x});

y_{i+2}~=ln{x}~x^{k_i} cos(k_2 ln{x});~~~y_{i+3}~=ln{x}~x^{k_i} sin(k_2 ln{x});

..............................

y_{i+2m-2}~=(ln{x})^{m-1}~x^{k_i} cos(k_2 ln{x});~~~y_{i+2m-1}~=(ln{x})^{m-1}~x^{k_i} sin(k_2 ln{x}).

После того как получено n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):

(3)   y~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2~+~cdots~+~C_{n-1} y_{n-1}~+~C_n y_n

Примеры

Решить уравнения:
x^3 y prime prime prime~+~2 x^2 y prime prime~minus~x y prime~+~y~=~0
x^2 y prime prime~+~x y prime~+~y~=~0

Решения примеров > > >

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:

a_0 x^n y^(n)~+~a_1 x^{n-1} y^(n-1)~+~cdots~+~a_{n-1} x~ y prime~+~a_n y~=~f(x)

Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные C1, C2, ... Cn функциями от переменной x. Дифференцируем (3) n-1 раз, получая выражения для n-1 производных y по x. При каждом дифференцировании члены, содержащие производные Ci приравниваем к нулю. Так получаем n-1 уравнений, связывающих производные Ci. Далее находим n-ю производную y. Подставляем полученные производные y(i) в (1) и получаем n-е уравнение, связывающее производные Ci. Из этих уравнений определяем Ci. После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Решить уравнение:
x^2 y prime prime~+~x y prime~minus~y~=~x/(x+1)^2~minus~ln(x+1)

Решение > > >

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Если неоднородная часть имеет определенный вид, то получить общее решение проще, найдя частное решение неоднородного уравнения. К такому классу относятся уравнения вида:

(4)   a_0 x^n y^(n) ~+~ ... ~+~a_{n-2} x^2 y^{prime prime} ~+~ a_{n-1} x y^{prime} ~+~ a_n y ~=~

~=~ x^{alpha}(P_{s1}(ln{x}) ~dot~ cos(beta ln{x})~+~ Q_{s2}(ln{x}) ~dot~ sin(beta ln{x}))

где Ps1(ln x), Qs2(ln x) - многочлены от ln x степеней s1, s2, соответственно.

В этом случае проще сделать подстановку

x~=~e^t

и решать линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru