Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа

Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом Лагранжа (вариации постоянных).

Здесь мы применим метод Лагранжа для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Метод Лагранжа подробно рассмотрен на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго и высших порядков методом Лагранжа > > >”.

Пример. Решить уравнение второго порядка методом Лагранжа (вариации постоянных)

(1)   y prime prime~+~2y prime~+~y~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

Решение

Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

(2)   y prime prime~+~2y prime~+~y~=~0

Составляем характеристическое уравнение второго порядка

k^2 ~+~2k ~+~ 1~=~0

Решаем квадратное уравнение:

k_{1,2}~=~{minus 2~pm~sqrt{2^2 minus 4 dot 1}}/2~=~{minus 2~pm~0}/2~=~minus 1

Корни кратные, k1 = k2 = -1, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

(3)   y~=~(C_1~+~C_2 x)e^{-x}~=~C_1 e^{-x}~+~C_2 xe^{-x}

Фундаментальная система решений имеет вид:

y_1~=~ e^{-x};~~~~y_2~=~ xe^{-x}

y~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2

Далее считаем постоянные C1 и C2 функциями от x: C1(x), C2(x). Находим производную:

y prime ~=~(C_1)^, y_1~+~C_1 {y_1}prime~+~(C_2)^, y_2~+~C_2 {y_2}prime

Положим:

(4)   (C_1)^, y_1~+~(C_2)^, y_2 ~=~ 0

Тогда

y prime ~=~C_1 {y_1}prime~+~C_2 {y_2}prime

Дифференцируем еще раз:

y prime prime ~=~(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~+~C_1 {y_1}prime prime~+~C_2 {y_2}prime prime

Подставляем в уравнение (1):

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~+~C_1 {y_1}prime prime~+~C_2 {y_2}prime prime~+~

~+~2 dot(C_1 {y_1}prime~+~C_2 {y_2}prime)~+~C_1 y_1~+~C_2 y_2~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

Преобразуем:

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~+~

~+~C_1 dot({y_1}prime prime~+~2 dot {y_1}prime~+~y_1)~+~

~+~C_2 dot({y_2}prime prime~+~2 dot {y_2}prime~+~y_2)~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

Поскольку y1 и y2 удовлетворяют однородному уравнению (2), то члены в скобках равны нулю. Тогда

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

Вместе с уравнением (4) получаем систему уравнения для определения C1' и C2' :

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~=~e^{-x} ~sqrt{x+1};
(C_1)^, y_1~+~(C_2)^, y_2 ~=~ 0.

Подставляем

y_1~=~ e^{-x};~~~~y_2~=~ xe^{-x}

y_1 prime~=~ (e^{-x})^, ~=~e^{-x}~(minus x)prime~=~minus e^{-x}

y_2 prime~=~ (xe^{-x})^, ~=~(x)prime~e^{-x}~+~x(e^{-x})^, ~=~e^{-x}~minus~xe^{-x}~=~(1 minus x)e^{-x}

minus(C_1)^, e^{-x}~+~(C_2)^, (1 minus x)e^{-x}~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}
(C_1)^, e^{-x}~+~(C_2)^, xe^{-x} ~=~ 0

Сокращаем на e-x:

minus(C_1)^, ~+~(C_2)^, (1 minus x)~=~sqrt{x+1}
(C_1)^, ~+~(C_2)^, x ~=~ 0

Из второго уравнения:

minus (C_1)^, ~=~(C_2)^, x

Подставляем в первое:

(C_2)^, x ~+~(C_2)^, (1 minus x)~=~sqrt{x+1}

Или:

{dC_2}/dx~=~ (C_2)^, ~=~sqrt{x+1}

Тогда:

{d{C_1}}/dx ~=~ (C_1)^, ~=~ minus (C_2)^, x~=~minus x sqrt{x+1}

Интегрируем:

C_1 ~=~minus int{~}{~}{ x sqrt{x+1} ~dx}~=~minus int{~}{~}{ (x+1 minus 1) sqrt{x+1} ~dx}~=~minus int{~}{~}{(x+1)^{3/2}d(x+1)}~+~

~+~int{~}{~}{(x+1)^{1/2}d(x+1)}~=~minus~ 1/{3/2+1}~(x+1)^{3/2 + 1}~+~1/{1/2+1}~(x+1)^{1/2 + 1}~+~C_{01}~=~

~~=~ minus~ 2/5~(x+1)^{5/2}~+~2/3~(x+1)^{3/2}~+~C_{01}

C_2 ~=~int{~}{~}{sqrt{x+1}~dx}~=~int{~}{~}{(x+1)^{1/2}~d(x+1)}~=~1/{1/2+1}~(x+1)^{1/2+1}~+~C_{02}~=~

~=~2/3~(x+1)^{3/2}~+~C_{02}

Здесь C01, C02 - постоянные. Подставляем в (3):

y~=~(C_1~+~C_2 x)e^{-x}~=~

= (minus~ 2/5~(x+1)^{5/2}~+~2/3~(x+1)^{3/2}~+~C_{01}~+~(2/3~(x+1)^{3/2}~+~C_{02})~dot~x)~dot~e^{-x}~=~

= (minus~ 2/5~(x+1)^{5/2}~+~2/3~(x+1)^{3/2}~(x+1)~+~C_{01}~+~C_{02} x)~dot~e^{-x}~=~

= ((2/3~minus~ 2/5)~(x+1)^{5/2}~+ C_{01}~+~C_{02} x)~dot~e^{-x}~=~

(~~~2/3~minus~ 2/5~=~{2 dot 5~minus~2 dot 3}/{3 dot 5}~=~4/15~~~)

= (4/15~(x+1)^{5/2}~+~C_{01}~+~C_{02} x)~dot~e^{-x}

Переобозначим постоянные

C_{01} ~right~ C_1;~~~ C_{02} ~right~ C_2

y~=~~4/15~dot~ (x+1)^{5/2}~e^{-x}~+~(C_1 ~x~+C_2)~e^{-x}

Ответ

y~=~~(C_1 ~x~+C_2)~e^{-x}~+~4/15~dot~ sqrt{(x+1)^5}~dot~e^{-x}

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru