Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка методом вариации постоянных (Лагранжа)

Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка методом вариации постоянных (Лагранжа).

Здесь мы применим метод вариации постоянных для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Метод вариации постоянных подробно рассмотрен на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго и высших порядков методом Лагранжа > > >”.

Пример

Решить уравнение методом вариации постоянных.
(1)   y prime prime~+~y~=~tg{x}

Решение

Решаем однородное уравнение:

(2)   y prime prime~+~y~=~0

Составляем характеристическое уравнение

k^2 ~+~ 1~=~0

Решаем квадратное уравнение:

k_{1,2}~=~pm~ sqrt{minus 1}~=~pm~i

Корни комплексные, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

(3)   y~=~C_1~cos{x}~+~C_2~sin{x}

Фундаментальная система решений имеет вид:

y_1~=~ cos{x};~~~~y_2~=~ sin{x}

y~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2

Далее считаем постоянные C1 и C2 функциями от x: C1(x), C2(x). Находим производную:

y prime ~=~(C_1)^, y_1~+~C_1 {y_1}prime~+~(C_2)^, y_2~+~C_2 {y_2}prime

Положим:

(4)   (C_1)^, y_1~+~(C_2)^, y_2 ~=~ 0

Тогда

y prime ~=~C_1 {y_1}prime~+~C_2 {y_2}prime

Дифференцируем еще раз:

y prime prime ~=~(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~+~C_1 {y_1}prime prime~+~C_2 {y_2}prime prime

Подставляем в уравнение (1):

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~+~C_1 {y_1}prime prime~+~C_2 {y_2}prime prime~+~

~+~C_1 y_1~+~C_2 y_2~=~tg{x}

Преобразуем:

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~+~C_1 dot({y_1}prime prime~+~y_1)~+~

~+~C_2 dot({y_2}prime prime~+~y_2)~=~tg{x}

Поскольку y1 и y2 удовлетворяют однородному уравнению (2), то члены в скобках равны нулю. Тогда

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~=~tg{x}

Вместе с уравнением (4) получаем систему уравнения для определения C1' и C2' :

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~=~tg{x}}{(C_1)^, y_1~+~(C_2)^, y_2 ~=~ 0}}}{~}

Подставляем

y_1~=~ cos{x};~~~~y_2~=~ sin{x}

y_1 prime~=~ minus~sin{x};~~~y_2 prime~=~cos{x}

minus(C_1)^, sin{x}~+~(C_2)^, cos{x}~=~tg{x}
(C_1)^, cos{x}~+~(C_2)^, sin{x} ~=~ 0

Из второго уравнения:

minus (C_1)^, ~=~(C_2)^, tg{x}

Подставляем в первое:

(C_2)^, tg{x}~sin{x} ~+~(C_2)^, cos{x}~=~(C_2)^, (tg{x}~sin{x}~+~cos{x})~=~tg{x}

tg{x}~sin{x}~+~cos{x}~=~{sin^2{x}}/{cos{x}}~+~{cos^2{x}}/{cos{x}}~=~{sin^2{x}+cos^2{x}}/{cos{x}}~=~1/{cos{x}}

(C_2)^, ~1/{cos{x}}~=~tg{x}~=~{sin{x}}/{cos{x}}

{d C_2}/dx~=~(C_2)^, ~=~sin{x}

{d C_1}/dx~=~ (C_1)^, ~=~minus (C_2)^, tg{x}~=~minus sin{x}~{sin{x}}/{cos{x}}~=~minus {sin^2{x}}/{cos{x}}~=~minus {1 minus cos^2{x}}/{cos{x}}~=~

~=~cos{x} ~minus~ 1/{cos{x}}

Интегрируем:

C_1 ~=~int{~}{~}{ cos{x} ~dx^{~}}~ minus~ int{~}{~}{ dx/{cos{x}}}

int{~}{~}{ cos{x} ~dx^{~}}~=~sin{x}

int{~}{~}{ dx/{cos{x}}}~=~int{~}{~}{ dx/{(cos{x/2})^2~minus~(sin{x/2})^2}}~=~2~dot~int{~}{~}{{d (x/2)}/{(1 minus (tg{x/2})^2)(cos{x/2})^2}}=~

~=~2~int{~}{~}{{d (tg{x/2})}/{1 minus (tg{x/2})^2)}~=~minus~ln{delim{|}{{1 minus tg{x/2}}/{1 + tg{x/2}}}{|}}

Умножим числитель и знаменатель дроби на ~cos{x/2}:

{1 minus tg{x/2}}/{1 + tg{x/2}}~=~{cos{x/2} minus sin{x/2}}/{cos{x/2} + sin{x/2}}~=~

( Умножим числитель и знаменатель на ~cos{x/2} minus sin{x/2} )

~=(cos{x/2} minus sin{x/2})^2/{(cos{x/2} + sin{x/2})(cos{x/2} minus sin{x/2})}=~{(cos{x/2})^2 minus 2 cos{x/2} sin{x/2}+(sin{x/2})^2}/{(cos{x/2})^2 minus (sin{x/2})^2}~=~

~=~{1 minus sin{x}}/{cos{x}}

Итак,

int{~}{~}{ dx/{cos{x}}}~=~minus~ln{delim{|}{{1 minus sin{x}}/{cos{x}}}{|}}

C_1 ~=~int{~}{~}{ cos{x} ~dx^{~}}~ minus~ int{~}{~}{ dx/{cos{x}}}~=~sin{x}~+~ln{delim{|}{{1 minus sin{x}}/{cos{x}}}{|}}~+~C_01

C_2 ~=~int{~}{~}{ sin{x} ~dx^{~}}~=~minus~cos{x}~+~C_02

Подставим в (3):

y~=~(sin{x}~+~ln{delim{|}{{1 minus sin{x}}/{cos{x}}}{|}}~+~C_01)~dot~cos{x}~+~(minus~cos{x}~+~C_02)~sin{x}~=~

~=~cos{x}~ln{delim{|}{{1 minus sin{x}}/{cos{x}}}{|}}~+~C_01 cos{x}~+~C_02~sin{x}

Поскольку 1 - sin x ≥ 0, знак модуля в числителе можно опустить. Переобозначим постоянные:

C_01 ~right~ C_1;~~~C_02~right~ C_2

Ответ

y~=~cos{x}~ln{{1 minus sin{x}}/{ delim{|}{cos{x}}{|} }}~+~C_1 cos{x}~+~C_2~sin{x}

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru