Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка методом вариации постоянных (Лагранжа)

Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка методом вариации постоянных (Лагранжа).

Внимание. Страница устарела!

Разобранный здесь пример перенесен на страницу

Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа >>>


Здесь мы применим метод вариации постоянных для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Метод вариации постоянных подробно рассмотрен на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго и высших порядков методом Лагранжа > > >”.

Пример

Решить уравнение методом вариации постоянных.
(1)   y prime prime~+~y~=~tg{x}

Решение

Решаем однородное уравнение:

(2)   y prime prime~+~y~=~0

Составляем характеристическое уравнение

k^2 ~+~ 1~=~0

Решаем квадратное уравнение:

k_{1,2}~=~pm~ sqrt{minus 1}~=~pm~i

Корни комплексные, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

(3)   y~=~C_1~cos{x}~+~C_2~sin{x}

Фундаментальная система решений имеет вид:

y_1~=~ cos{x};~~~~y_2~=~ sin{x}

y~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2

Далее считаем постоянные C1 и C2 функциями от x: C1(x), C2(x). Находим производную:

y prime ~=~(C_1)^, y_1~+~C_1 {y_1}prime~+~(C_2)^, y_2~+~C_2 {y_2}prime

Положим:

(4)   (C_1)^, y_1~+~(C_2)^, y_2 ~=~ 0

Тогда

y prime ~=~C_1 {y_1}prime~+~C_2 {y_2}prime

Дифференцируем еще раз:

y prime prime ~=~(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~+~C_1 {y_1}prime prime~+~C_2 {y_2}prime prime

Подставляем в уравнение (1):

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~+~C_1 {y_1}prime prime~+~C_2 {y_2}prime prime~+~

~+~C_1 y_1~+~C_2 y_2~=~tg{x}

Преобразуем:

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~+~C_1 dot({y_1}prime prime~+~y_1)~+~

~+~C_2 dot({y_2}prime prime~+~y_2)~=~tg{x}

Поскольку y1 и y2 удовлетворяют однородному уравнению (2), то члены в скобках равны нулю. Тогда

(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~=~tg{x}

Вместе с уравнением (4) получаем систему уравнения для определения C1' и C2' :

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(C_1)^, y_1 prime~+~(C_2)^, y_2 prime~=~tg{x}}{(C_1)^, y_1~+~(C_2)^, y_2 ~=~ 0}}}{~}

Подставляем

y_1~=~ cos{x};~~~~y_2~=~ sin{x}

y_1 prime~=~ minus~sin{x};~~~y_2 prime~=~cos{x}

minus(C_1)^, sin{x}~+~(C_2)^, cos{x}~=~tg{x}
(C_1)^, cos{x}~+~(C_2)^, sin{x} ~=~ 0

Из второго уравнения:

minus (C_1)^, ~=~(C_2)^, tg{x}

Подставляем в первое:

(C_2)^, tg{x}~sin{x} ~+~(C_2)^, cos{x}~=~(C_2)^, (tg{x}~sin{x}~+~cos{x})~=~tg{x}

tg{x}~sin{x}~+~cos{x}~=~{sin^2{x}}/{cos{x}}~+~{cos^2{x}}/{cos{x}}~=~{sin^2{x}+cos^2{x}}/{cos{x}}~=~1/{cos{x}}

(C_2)^, ~1/{cos{x}}~=~tg{x}~=~{sin{x}}/{cos{x}}

{d C_2}/dx~=~(C_2)^, ~=~sin{x}

{d C_1}/dx~=~ (C_1)^, ~=~minus (C_2)^, tg{x}~=~minus sin{x}~{sin{x}}/{cos{x}}~=~minus {sin^2{x}}/{cos{x}}~=~minus {1 minus cos^2{x}}/{cos{x}}~=~

~=~cos{x} ~minus~ 1/{cos{x}}

Интегрируем:

C_1 ~=~int{~}{~}{ cos{x} ~dx^{~}}~ minus~ int{~}{~}{ dx/{cos{x}}}

int{~}{~}{ cos{x} ~dx^{~}}~=~sin{x}

int{~}{~}{ dx/{cos{x}}}~=~int{~}{~}{ dx/{(cos{x/2})^2~minus~(sin{x/2})^2}}~=~2~dot~int{~}{~}{{d (x/2)}/{(1 minus (tg{x/2})^2)(cos{x/2})^2}}=~

~=~2~int{~}{~}{{d (tg{x/2})}/{1 minus (tg{x/2})^2)}~=~minus~ln{delim{|}{{1 minus tg{x/2}}/{1 + tg{x/2}}}{|}}

Умножим числитель и знаменатель дроби на ~cos{x/2}:

{1 minus tg{x/2}}/{1 + tg{x/2}}~=~{cos{x/2} minus sin{x/2}}/{cos{x/2} + sin{x/2}}~=~

( Умножим числитель и знаменатель на ~cos{x/2} minus sin{x/2} )

~=(cos{x/2} minus sin{x/2})^2/{(cos{x/2} + sin{x/2})(cos{x/2} minus sin{x/2})}=~{(cos{x/2})^2 minus 2 cos{x/2} sin{x/2}+(sin{x/2})^2}/{(cos{x/2})^2 minus (sin{x/2})^2}~=~

~=~{1 minus sin{x}}/{cos{x}}

Итак,

int{~}{~}{ dx/{cos{x}}}~=~minus~ln{delim{|}{{1 minus sin{x}}/{cos{x}}}{|}}

C_1 ~=~int{~}{~}{ cos{x} ~dx^{~}}~ minus~ int{~}{~}{ dx/{cos{x}}}~=~sin{x}~+~ln{delim{|}{{1 minus sin{x}}/{cos{x}}}{|}}~+~C_01

C_2 ~=~int{~}{~}{ sin{x} ~dx^{~}}~=~minus~cos{x}~+~C_02

Подставим в (3):

y~=~(sin{x}~+~ln{delim{|}{{1 minus sin{x}}/{cos{x}}}{|}}~+~C_01)~dot~cos{x}~+~(minus~cos{x}~+~C_02)~sin{x}~=~

~=~cos{x}~ln{delim{|}{{1 minus sin{x}}/{cos{x}}}{|}}~+~C_01 cos{x}~+~C_02~sin{x}

Поскольку 1 - sin x ≥ 0, знак модуля в числителе можно опустить. Переобозначим постоянные:

C_01 ~right~ C_1;~~~C_02~right~ C_2

Ответ

y~=~cos{x}~ln{{1 minus sin{x}}/{ delim{|}{cos{x}}{|} }}~+~C_1 cos{x}~+~C_2~sin{x}

Опубликовано: