Методы решения физико-математических задач

Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами

Понижение порядка в линейных дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами
Рассмотрен способ решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом понижения порядка.

С помощью подстановок, линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка можно свести к решению n неоднородных уравнений первого порядка.

Уравнения первого порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами первого порядка:
(1)   .
Наиболее просто оно решается с помощью интегрирующего множителя.

Умножим уравнение (1) на :
.
замечаем, что
.
Тогда
.
Интегрируем:
.
Отсюда получаем общее решение:
.

Уравнения произвольного порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка:
(2)   .
Замечаем, что производную k-го порядка можно записать в следующем виде:
.
Это выражает собой тот факт, что производная k-го порядка есть применение операции дифференцирования k раз. Перепишем уравнение (2):
.
Или
.
Вводим обозначение: .
.
Поскольку коэффициенты – постоянные, то стоящий в скобках многочлен можно представить в виде произведения сомножителей так же, как это делается для любого многочлена:

,
где – корни уравнения:
(3)   .
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением.

После этого исходное уравнение (2) примет вид:
.
Сделаем подстановку:
.
Получаем:
,
или
.
И мы получили уравнение первого порядка:
.
Решение этого уравнения мы уже рассмотрели, оно имеет вид:
,
где
.

Возвращаемся к переменной y:
,
или
.
Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Повторяя эту процедуру раз, мы получим решение уравнения (2).

При практическом применении этого метода стоит различать два случая – случай вещественных корней и случай комплексных корней. В случае вещественных корней, процедура решения происходит, как описано выше (см. пример решения с действительными корнями). В случае комплексных корней следует учесть тот факт, что корни уравнения являются попарно сопряженными. И для каждой такой пары достаточно решить одно уравнение первого порядка (см. пример решения с мнимыми корнями).

.     Опубликовано:   Изменено:

Меню