Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрен способ решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом понижения порядка.

С помощью подстановок, линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка можно свести к решению n неоднородных уравнений первого порядка.

Уравнения первого порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами первого порядка:

(1)   y prime~minus~a y~=~f(x)

Наиболее просто оно решается с помощью интегрирующего множителя.

Умножим уравнение (1) на ~e^{-ax}~

e^{-ax}~y prime~minus~ae^{-ax}~ y~=~e^{-ax} f(x)

замечаем, что

minus a dot e^{-ax}~=~{de^{-ax}}/dx,

тогда

e^{-ax}~dot~dy/dx~+~{de^{-ax}}/dx~dot~ y~=~d/dx(e^{-ax}~dot~y)~=~e^{-ax} f(x)

Интегрируем

e^{-ax}~dot~y~=~int{~}{~}{e^{-ax} f(x) dx}~+C

Отсюда получаем общее решение

y~=~e^ax~int{~}{~}{e^{-ax} f(x) dx}~+C e^ax

Уравнения произвольного порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка:

(2)   y^(n)~+~a_1 y^(n-1)~+~a_2 y^(n-2)+... a_{n-1} y prime~+~a_n y~=~f(x)

Замечаем, что производную k-го порядка можно записать в виде:

y^(k)~=~{d^k y}/dx^k~=~(d/dx)^k ~y

Что выражает собой тот факт, что производная k-го порядка есть применение операции дифференцирования k раз. Перепишем уравнение (2):

(d/dx)^n ~y~+~a_1 (d/dx)^{n-1}~y~+~a_2 (d/dx)^{n-2}~y~+~...~+~a_{n-1} (d/dx)~y~+~a_n y~=~f(x)

Или

( (d/dx)^n ~+~a_1 (d/dx)^{n-1}~+~a_2 (d/dx)^{n-2}~+...~+a_{n-1} (d/dx)~+~a_n)~y~=~f(x)

Вводим обозначение:

D~=~d/dx

(Dn + a1Dn-1 + a2Dn-2 + ... + an-1D + an) y = f(x)

Поскольку коэффициенты ai постоянные, то стоящий в скобках многочлен можно представить в виде произведения сомножителей так же, как это делается для любого многочлена.

D^n ~+~a_1 D^{n-1}~+~a_2 D^{n-2}~+~...~+~a_{n-1} D~+~a_n ~=~

~=~(D ~minus~b_1)(D ~minus~b_2)~...~(D ~minus~b_{n-1})(D ~minus~b_n)

где bi - корни уравнения:

(3)   D^n ~+~a_1 D^{n-1}~+~a_2 D^{n-2}~+~...~+~a_{n-1} D~+~a_n ~=~0

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением.

После этого исходное уравнение (1) примет вид:

(D ~minus~b_1)(D ~minus~b_2)~...~(D ~minus~b_{n-1})(D ~minus~b_n)~y~=~f(x)

Сделаем подстановку:

u~=~ (D ~minus~b_2)~...~(D ~minus~b_{n-1})(D ~minus~b_n) ~y

Получаем:

(D ~minus~b_1)u~=~f(x)

или

(d/dx ~minus~b_1)u~=~du/dx~minus~b_1 u~=~f(x)

И мы получили уравнение первого порядка

u prime~minus~b_1 u~=~f(x)

Решение этого уравнения мы уже рассмотрели, оно имеет вид:

u~=~f_1(x)

где

f_1(x)~=~e^{b_1 x}~int{~}{~}{e^{-b_1 x} f(x) dx}~+C e^{b_1 x}

Возвращаемся к переменной y:

(D ~minus~b_2)~...~(D ~minus~b_{n-1})(D ~minus~b_n)~y~=~f_1(x)

или

(d/dx ~minus~b_2)~...~(d/dx ~minus~b_{n-1})(d/dx ~minus~b_n)~y~=~f_1(x)

Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами порядка n-1. Повторяя эту процедуру n-1 раз, мы получим решение уравнения (2).

При практическом применении этого метода стоит различать два случая - случай вещественных корней bi и случай комплексных корней. В случае вещественных корней, процедура решения происходит, как описано выше (см. пример решения с действительными корнями). В случае комплексных корней следует учесть тот факт, что корни уравнения являются попарно сопряженными. И для каждой такой пары достаточно решить одно уравнение первого порядка (см. пример решения с мнимыми корнями).

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru