Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Пример решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами методом понижения порядка

Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет действительные корни, методом понижения порядка.

Здесь мы применим метод понижения порядка для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет действительные корни. Метод понижения порядка подробно рассмотрен на странице “Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами > > >”.

Пример

Решить уравнение

(1)   y prime prime~+~2y prime~+~y~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

Решение

Перепишем уравнение в виде:

((d/dx)^2~+~2~d/dx~+~1)~y~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

Поскольку

D^2~+~2D~+~1~=~(D~+~1)^2~=~(D~+~1)(D~+~1)

то уравнение можно переписать в виде:

(d/dx~+~1)(d/dx~+~1)~y~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

Сделаем подстановку:

u~=~(d/dx~+~1)~y~=~y prime~+~y

Тогда уравнение примет вид:

(d/dx~+~1)~u~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

u prime~+~u~=~e^{-x} ~sqrt{x+1}

Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на ex

e^x~u prime~+~e^x~u~=~sqrt{x+1}

Замечаем, что

e^x~=~(e^x)^,

Тогда

e^x~u prime~+~e^x~u~=~e^x~u prime~+~(e^x)^,~u~=~d/dx(e^x~u)~=~sqrt{x+1}

По таблице интегралов находим:

e^x~u~=~int{~}{~}{sqrt{x+1} ~dx}~=~int{~}{~}{(x+1)^{1/2} ~d(x+1)}~=

~=~1/{1/2+1}~(x+1)^{1/2+1} ~+~C_1~=~2/3~(x+1)^{3/2} ~+~C_1

Умножая на e-x, находим:

u~=~2/3~(x+1)^{3/2}~e^{-x} ~+~C_1~e^{-x}

Поскольку u = y′ + 1, то мы получили линейное уравнение первого порядка для y:

y prime~+~y~=~2/3~(x+1)^{3/2}~e^{-x} ~+~C_1~e^{-x}

Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на ex:

e^x~y prime~+~e^x~y~=~d/dx(e^x~y)~=~2/3~(x+1)^{3/2}~+~C_1

Интегрируем:

e^x~y~=~2/3~int{~}{~}{(x+1)^{3/2}~dx}~+~C_1 ~int{~}{~}{dx^{~}}~=~

~=~2/3~dot~ 1/{3/2+1}~dot~ (x+1)^{3/2+1}~+~C_1 ~x~+C_2~=~~4/15~dot~ (x+1)^{5/2}~+~C_1 ~x~+C_2

Умножаем на e-x:

y~=~~4/15~dot~ (x+1)^{5/2}~e^{-x}~+~(C_1 ~x~+C_2)~e^{-x}

Ответ

y~=~~(C_1 ~x~+C_2)~e^{-x}~+~4/15~dot~ sqrt{(x+1)^5}~dot~e^{-x}

 

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru