Методы решения физико-математических задач

Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом понижения порядка

Пример решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами линейной подстановкой
Рассмотрен пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет действительные корни, методом понижения порядка.
Содержание

Здесь мы применим метод понижения порядка для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение которого имеет действительные корни. Метод понижения порядка подробно рассмотрен на странице «Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами».

Пример

Решить уравнение:
.

Решение

Перепишем уравнение в виде:
.
Поскольку
,
то уравнение можно переписать в виде:
.

Сделаем подстановку:
.
Тогда уравнение примет вид:
;
.

Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на :
.
Замечаем, что
.
Тогда
;
.

Интегрируем. По таблице интегралов находим:

.

Умножаем на :
.
Поскольку , то мы получили линейное уравнение первого порядка для y:
.

Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на :
.
Интегрируем:

.
Умножаем на :
.

Ответ

.

.     Опубликовано:   Изменено:

Меню