Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрен способ решения линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. Представлены примеры решения.

Метод решения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

(1)   a_0 y^(n)~+~a_1 y^(n-1)~+~...~+~a_{n-1} y prime~+~a_n y~=~0

Его решение можно получить следуя общему методу понижения порядка.

Однако проще сразу получить фундаментальную систему n линейно независимых решений и на ее основе составить общее решение. При этом вся процедура решения сводится к следующим шагам.

Ищем решение уравнения (1) в виде ekx. Получаем характеристическое уравнение:

(2)   a_0 k^n~+~a_1 k^{n-1}~+~...~+~a_{n-1} k~+~a_n~=~0

Оно имеет n корней. Решаем уравнение (2) и находим его корни ki. Тогда характеристическое уравнение можно представить в виде:

(3)   a_0 (k minus k_1)(k minus k_2)(k minus k_3) cdots(k minus k_{n-1})(k minus k_n)~=~0

Каждому корню соответствует одно из линейно независимых решений yi фундаментальной системы решений уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:

(4)   y~=~C_1 y_1~+~C_2 y_2~+~...~+~C_{n-1} y_{n-1}~+~C_n y_n

Рассмотрим действительные корни.

Пусть корень ki однократный, то есть выражение (k - ki) входит в (3) только один раз. Тогда этому корню соответствует решение

y_i~=~e^{k_i x}

Пусть ki - кратный корень кратности m, то есть ki = ki+1 = ki+2 = ... = ki+m-1, тогда выражение (k - ki) входит в (3) m раз.

a_0 (k minus k_1)(k minus k_2)cdots(k minus k_i)^m cdots(k minus k_{n-1})(k minus k_n)~=~0

Этим кратным (одинаковым) корням соответствуют m линейно независимых решений:

y_i~=~e^{k_i x};~~~y_{i+1}~=~x e^{k_i x};~~~y_{i+2}~=~x^2 e^{k_i x};~~~cdots~~~y_{i+m-1}~=~x^{m-1} e^{k_i x}

Рассмотрим комплексные корни. Выразим комплексный корень ki через действительную и мнимую части:

k_i~=~k_{1i}~+~i~k_{2i}

Поскольку коэффициенты уравнения (1) действительные, то кроме корня ki имеется комплексно сопряженный корень

k_{i+1}~=~{k_i}^asterisk~=~k_{1i}~minus~i~k_{2i}

Пусть комплексный корень ki однократный. Тогда паре корней ki, ki* = ki+1 соответствуют два решения

y_i~=~e^{k_{1i} x}~cos(k_{2i} x);~~~y_{i+1}~=~e^{k_{1i} x}~sin(k_{2i} x)

Пусть ki - кратный комплексный корень кратности m. Тогда комплексно сопряженное значение ki* также является корнем кратности m и выражение (k - ki)(k - ki*) входит в (3) m раз.

a_0 (k minus k_1)(k minus k_2)cdots(k minus k_i)^m (k minus {k_i}^asterisk)^m cdots(k minus k_{n-1})(k minus k_n)~=~0

Этим 2m корням соответствуют 2m линейно независимых решений:

y_i~=~e^{k_{1i} x}~cos(k_{2i} x);~~~y_{i+1}~=~x~e^{k_{1i} x}~cos(k_{2i} x);

y_{i+2}~=~x^2~e^{k_{1i} x}~cos(k_{2i} x);~~~cdots~~~y_{i+m-1}~=~x^{m-1}~e^{k_{1i} x}~cos(k_{2i} x);

y_{i+m}~=~e^{k_{1i} x}~sin(k_{2i} x);~~~y_{i+m+1}~=~x~e^{k_{1i} x}~sin(k_{2i} x);

y_{i+m+2}~=~x^2~e^{k_{1i} x}~sin(k_{2i} x);~~~cdots~~~y_{i+2m-1}~=~x^{m-1}~e^{k_{1i} x}~sin(k_{2i} x);

После того как фундаментальная система линейно независимых решений найдена, по формуле (4) получаем общее решение уравнения (1).

Примеры решения задач

Пример 1

Решить уравнение
y^(7)~+~2y^(5)~+~y prime prime prime~=~0

Решение

Ищем решение в виде ekx. Составляем характеристическое уравнение:

k^7~+~2k^5~+~k^3~=~0

Преобразуем его.

(k^4~+~2k^2~+~1)~k^3~=~0

(k^2~+~1)^2~k^3~=~0

(k~minus~i)^2~(k~+~i)^2~(k~minus~0)^3~=~0

Получили четыре комплексных корня кратности 2:

k_1~=~k_2~=~i~=~0~+~1 dot i;~~~k_3~=~k_4~=~{k_1}^asterisk~=~{k_2}^asterisk~=~minus~i~=~0~minus~1 dot i

Им соответствуют решения:

y_1~=~e^{0 dot x}~cos(1 dot x)~=~cos{x};~~~y_2~=~x~e^{0 dot x}~cos(1 dot x)~=~x~cos{x};

y_3~=~e^{0 dot x}~sin(1 dot x)~=~cos{x};~~~y_4~=~x~e^{0 dot x}~sin(1 dot x)~=~x~cos{x}

И три действительных корня кратности 3:

k_5~=~k_6~=~k_7~=~0

Им соответствуют решения:

y_5~=~e^{0 dot x}~=~1;~~~y_6~=~x~e^{0 dot x}~=~x;~~~y_7~=~x^2~e^{0 dot x}~=~x^2

Общее решение уравнения:

y~=~C_1~y_1~+~C_2~y_2~+~C_3~y_3~+~C_4~y_4~+~C_5~y_5~+~C_6~y_6~+~C_7~y_7

Ответ

y~=~(C_1 ~+C_2~x)~cos{x}~+~(C_3 ~+C_4~x)~sin{x}~+~C_5~+~C_6 x~+~C_7 x^2

Пример 2

Решить уравнение
y prime prime~+~4y prime~+~13y~=~0

Решение

Ищем решение в виде ekx. Составляем характеристическое уравнение:

k^2~+~4k~+~13~=~0

Решаем квадратное уравнение.

k~=~{minus 4 pm sqrt{4^2 minus 4 dot 13}}/2~=~{minus 4 pm sqrt{minus 36 }}/2~=~{minus 4 pm 6i}/2~=~minus 2 ~pm~3i

Получили два комплексных корня:

k_1~=~minus 2 +3i;~~~k_2~=~minus 2 minus 3i

Им соответствуют решения:

y_1~=~e^{-2x}~cos{3x};~~~y_2~=~e^{-2x}~sin{3x}

Общее решение уравнения:

y~=~C_1~y_1~+~C_2~y_2~=~C_1~e^{-2x}~cos{3x}~+~C_2~e^{-2x}~sin{3x}

Ответ

y~=~e^{-2x}(C_1~cos{3x} ~+C_2~sin{3x})

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru