Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных
Русский  |  English
интегралов

Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным

Рассмотрены дифференциальные уравнения, приводящиеся к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению.

К линейным уравнениям первого порядка приводится уравнения вида:
(1)   ,
где z – функция от y; p и q – функции от x.
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляя в (1), получаем уравнение, линейное относительно z:
.

Дифференциальные уравнения, линейные относительно переменной x

Ранее мы рассматривали уравнения, линейные относительно переменной y. То есть мы считали, что x является независимой переменной, а y является зависимой переменной. Однако, всегда стоит иметь в виду, что возможен противоположный подход. То есть можно считать переменную y независимой переменной, а x – зависимой переменной. На практике часто встречаются задачи, в которых уравнение линейно относительно переменной x, а не y. В общем виде такое уравнение можно записать так:
(2)   ,
где P, Q, R –функции от y.

Покажем, что это уравнение линейно относительно переменной x. Для этого выполняем преобразования. Представим производную в виде отношения дифференциалов:
.
Тогда уравнение (2) примет вид:
.
Умножаем на     и выполняем алгебраические преобразования:
;
.
Разделив на R(y), приводим уравнение к виду:
,
где   .
Это – линейное относительно x дифференциальное уравнение.

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к линейному уравнению первого порядка

Решить уравнение:
(П.1)   .

Решение

Подставим     в (П.1):
.
Считаем, что y – это независимая переменная, а x – зависимая. То есть x – это функция от y. Умножим на   :
(П.2)   .
Делаем подстановку:
.
Здесь z – сложная функция от y,   .
Дифференцируем по y. По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Подставляем в (П.2):
;
.
Это линейное, относительно z, дифференциальное уравнение. Решаем его с помощью интегрирующего множителя. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель e y:
;
;
.
Интегрируем по частям:

;

;
;
.
Переходим к переменной x:
;
.

Ответ

.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru