Методы решения физико-математических задач

Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
Приводятся основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенные относительно производной. Разобраны самые простые из них и даны ссылки на страницы, содержащие методы их решения с примерами.

Дифференциальные уравнения, которые удается разрешить относительно производной

Сначала нужно проверить, не удастся ли уравнение решить относительно производной. Если уравнение удается разрешить относительно производной, то оно сводится к одному из ранее рассмотренных типов.

Пример

Решить уравнение:
(1)  

Решение

Решим это уравнение относительно производной. Возводим уравнение (1) в квадрат:
.
Или:
;
.
Поскольку , то .
Извлекаем квадратный корень. Получаем два значения:
(2)   .
Из уравнения (1) следует, что .
Поэтому при , . В уравнении (2) выбираем верхний знак “+”.
При , . В уравнении (2) выбираем нижний знак “–”.

Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
(3)   .
Поскольку верхний знак “+” относится к , а нижний знак “–” относится к , то
.
Тогда
.

Теперь объясним, как мы вынесли за знак логарифма в (3).
Применим формулу:
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Подставим ; :
;
;
;
.
Логарифмируем, применяя свойства логарифмов:
.
Отсюда
.

Ответ

.

Дифференциальные уравнения, допускающие разложение на множители

Также нужно проверить, не удастся ли представить уравнение в виде произведения множителей:
.
Если такое разложение возможно, то последовательно решают уравнения, составленные из сомножителей:
;
;
;
....................
.

Виды не разрешенных уравнений, допускающих решение

Далее приведены виды не разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решение.

Уравнения, не содержащие x и y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде независимую и зависимую переменные:
.
См. Уравнения, содержащие только производную.

Уравнения, не содержащие x или y

Это уравнения, которые не содержат в явном виде либо независимую переменную , либо зависимую переменную :
;   или   .
См. Уравнения, не содержащие одну из переменных в явном виде.

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро


См. Дифференциальное уравнение Клеро.

Уравнения Лагранжа


См. Дифференциальное уравнение Лагранжа.

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

;
.
См. Дифференциальное уравнение, не разрешенное относительно производной, приводящееся к уравнению Бернулли.

.     Опубликовано:   Изменено: