Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальные уравнения без x или y

Дан метод решения дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, не содержащих в явном виде одну из переменных. Рассмотрен общий случай и частный случай, когда уравнение может быть разрешено относительно переменной. Примеры.

Здесь мы рассматриваем метод решения уравнений вида:
(1)   ;
(2)   .
То есть это дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, и которые не содержат одну из переменных в явном виде.

Общий метод решения

Решение таких уравнений мы ищем в параметрическом виде. Пусть – параметр. Тогда переменные и являются функциями от этого параметра :
;
.
Производная также является функцией от параметра :
.

Преимущество параметрического представления заключается в том, что его можно создать многими способами. В качестве примера рассмотрим функцию
.
В параметрическом виде ее можно представить так:
.
Или так:
.
То есть мы можем найти бесконечно много способов, чтобы создать параметрическое представление для одной и той же функции.

Мы будем использовать это преимущество параметрического представления при решении уравнений (1) и (2). Общий метод заключается в том, чтобы подобрать такую функцию , чтобы уравнения (1) или (2) можно было разрешить относительно переменной или .

Рассмотрим уравнение (1):
(1)   .
Пусть мы подобрали такую функцию , что при подстановке в (1), уравнение (1) удалось разрешить относительно . То есть мы получили параметрическое представление для переменной :
.
Тогда имея две функции и , мы можем найти . Для этого запишем дифференциал:
.
Интегрируя, получаем параметрическое представление для :
.

Теперь рассмотрим уравнение (2):
(2)   .
Пусть мы подобрали такую функцию , что при подстановке в (2), уравнение (2) удалось разрешить относительно . То есть мы получили параметрическое представление для переменной :
.
Тогда имея две функции и , мы можем найти . Для этого запишем дифференциал:
.
Интегрируя, получаем параметрическое представление для :
.

Уравнения, разрешенные относительно переменной

Рассмотрим наиболее простой случай, когда исходное уравнение
(1)  
удается разрешить относительно переменной :
.
В этом случае проще положить . Тогда .

Тогда имея две функции и , мы можем найти :
;
.

Аналогично, если исходное уравнение
(2)  
удается разрешить относительно переменной :
.
То положим . Тогда .

Имея две функции и , мы можем найти :
;
.

Пример

Решить уравнение:
(1.1)  

Решение

Это дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Оно не содержит переменную в явном виде. Ищем решение в параметрическом виде, введя параметр . Это уравнение разрешено относительно переменной . Поэтому делаем подстановку:
(1.2)   .
Тогда
(1.3)   .

Итак, мы выразили переменную через параметр . Теперь осталось выразить через параметр переменную . Для этого запишем дифференциал переменной :
.
Отсюда получаем дифференциал переменной :
(1.4)   .
Распишем дифференциал , используя (1.3):
;
(1.5)   .
Подставляем (1.2) и (1.5) в (1.4):
.
Интегрируем:
.

Итак, мы получили решение в параметрическом виде:
(1.6)   ;
(1.3)   .

Далее мы можем явно выразить y через x. Для этого перепишем уравнение (1.6):
.
Решаем квадратное уравнение:

.
Заменим постоянную :
:
.
Подставляем в (1.3):

Ответ

.

Уравнения, не разрешенные относительно переменной

Теперь рассмотрим более общий случай. Рассмотрим уравнение (1):
(1)   .
Если это уравнение не удается разрешить относительно переменной , то у нас нет гарантий, что мы можем получить решение. Но мы можем попытаться найти такую функцию
, чтобы подставив в (1), можно было выразить переменную через параметр . Если это удастся сделать, то у нас будут две функции, зависящие от параметра :
;
.
Подставляя их в выражение для дифференциала

и интегрируя, мы найдем .

Аналогично поступаем для уравнения (2):
(2)   .
Нашей задачей является найти такую функцию
, чтобы подставив в (2), можно было выразить переменную через параметр . Если это удастся сделать, то у нас будут две функции, зависящие от параметра :
;
.
Подставляя их в выражение для дифференциала

и интегрируя, мы найдем .

Пример

Решить уравнение:
(2.1)   .

Решение

Это дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Оно не содержит переменную в явном виде. Ищем решение в параметрическом виде. Нашей задачей является найти такую подстановку , чтобы из уравнения (2.1) можно было выразить переменную через параметр .

Можно увидеть, что такой подстановкой является
(2.2)   .
Подставляем в исходное уравнение (2.1):
;
;
;
(2.3)   .

Итак, мы выразили переменную через параметр . Теперь осталось выразить через параметр переменную . Для этого запишем дифференциал переменной и выразим его через параметр .
.
Подставим (2.2):
.
Здесь – функция от , определяемая из (2.3).
Интегрируем по частям и подставляем (2.3):
;
;
.

Ответ

;
.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru