Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения Лагранжа и нахождение его особого интеграла. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения Лагранжа.
Дифференциальное уравнение Лагранжа – это уравнение вида
y=φ(y′)x+psi(y′)

Решение дифференциального уравнения Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение Лагранжа:
(1)   ,
где и – это функции.
Будем искать его решение в параметрическом виде. То есть будем считать, что , , а также производная являются функциями от параметра . Положим
.
Поставим в (1):
(2)   .
Продифференцируем по :
(3)   .
С другой стороны:
(4)   .
Левые части уравнений (3) и (4) равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования:
;
.

Разделим на   . При уравнение принимает вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение относительно переменной . Решая его, получаем зависимость переменной от параметра : . Затем подставляем в (2):
(2)   .
В результате получаем зависимость переменной от параметра : . То есть мы получили параметрическое представление решения уравнения (1).

Особый интеграл дифференциального уравнения Лагранжа

В процессе приведения уравнения к линейному, мы разделили уравнение на . Поэтому мы рассматривали решение при . В заключении следует рассмотреть случай , то есть исключить параметр из уравнений:
;
.
Эти уравнения могут дать еще одно или несколько решений. Далее нужно проверить, удовлетворяет ли полученное решение исходному уравнению (1). Если удовлетворяет, то это особое решение или особый интеграл уравнения.

И вообще, когда, в процессе преобразований, мы делим уравнение на некоторое выражение, мы автоматически полагаем, что это выражение не равно нулю (поскольку на нуль делить нельзя). То есть все поседующие выводы относятся к случаю, когда это выражение не равно нулю. Поэтому всегда нужно дополнительно рассматривать случай, когда это выражение равно нулю.

Пример

Решить уравнение:
(1.1)  

Решение

Разделим на . При имеем:
(1.2)   .
Это уравнение Лагранжа. Ищем решение в параметрическом виде. Считаем, что , , а также - это функции от параметра . Положим . Тогда
(1.3)   .

Чтобы упростить выкладки, умножим (1.3) на знаменатель дроби и продифференцируем по :
;
;
(1.4)   .
Далее имеем:
(1.5)   .
Поставляем (1.3) и (1.5) в (1.4) и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделим на . При ( или при и при ) имеем:
.

Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную . Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1, которую включаем в .
.
Отсюда
;
.
Подставляем в (1.3):
.
Заменим постоянную :
.

Теперь рассмотрим значения , которые мы исключили из рассмотрения при выполнении операций деления. Для этого подставим эти значения в исходное уравнение (1.1),
(1.1)   .
Проверим, существует ли для этих значений особое решение.

1) Подставим в (1.1):
.
Отсюда . Решение удовлетворяет исходному уравнению (1.1).

2) Подставим в (1.1):
;
.
Значение не удовлетворяет исходному уравнению. Отбрасываем его.

3) Подставим в (1.1):
;
;
.
Решение удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ

Общее решение уравнения имеет вид:
.
Уравнение имеет особые решения:
;
.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru