Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения, решающегося непосредственным интегрированием. Дан подробный пример решения такого уравнения.

Рассмотрим уравнение n-го порядка:
(1)   y^(n)~=~f(x)

Оно решается непосредственным интегрированием.

y^(n)~=~{d y^(n-1)}/dx~=~f(x)

y^(n-1)~=~int{~}{~}{f(x) dx}~+~C_1

y^(n-2)~=~int{~}{~}{y^(n-1) dx}~+~C_2

. . . . . . . .

При этом постоянные интегрирования C1, C2, ... Cn входят в результат в виде многочлена степени n:

C_1 ~+~ C_2 x ~+~ C_3 x^2 ~+~ ...~+~ C_n x^{n-1}

 

Также общее решение уравнения (1) можно представить в виде однократного интегрирования:

(2)   y~=~1/{(n-1)!} ~int{a}{x}{(x minus t)^{n-1} ~f(t) dt}~+~C_1 ~+~ C_2 x ~+~ C_3 x^2 ~+~ ...~+~ C_n x^{n-1}

где a - некоторая постоянная.

Однако, интегрирование по формуле (2) приводит, как правило, к более громоздким вычислениям, чем непосредственное интегрирование.

Проверим формулу (2). Для этого возьмем производную от (2):

y prime~=~1/{(n-1)!} ~lim{t right x}{(x minus t)^{n-1} ~f(t) }~+~1/{(n-1)!}~dot~int{a}{x}{ {partial((x minus t)^{n-1} ~f(t))}/{partial x} dt}~+~

~+~C_2 ~+~ 2 C_3 x ~+~ ...~+~ (n minus 1)C_n x^{n-2}~=~

~=~1/{(n-1)!} ~(x minus x)^{n-1} ~f(x) ~+~{n-1}/{(n-1)!} ~int{a}{x}{ (x minus t)^{n-2} ~f(t) dt}~+~

~+~C_2 ~+~ 2 C_3 x ~+~ ...~+~ (n minus 1)C_n x^{n-2}~=~

~=~0 ~+~1/{(n-2)!} ~int{a}{x}{ (x minus t)^{n-2} ~f(t) dt}~+~C_2 ~+~ 2 C_3 x ~+~ ...~+~ (n minus 1)C_n x^{n-2}

Выполняя n-1 дифференцирований, получаем:

y^(n-1)~=~int{a}{x}{ f(t) dt}~+~(n minus 1)! ~C_n

Дифференцируя еще раз приходим к выражению (2):

y^(n)~=~f(x)

Пример

Решить уравнение:
y prime prime prime ~sin^4 x ~=~sin 2x

Решение

Преобразуем, применяя формулу тригонометрии:

y prime prime prime ~=~{sin 2x}/{sin^4 x}~=~{2 sin x ~cos x}/{sin^4 x}~=~2~{cos x}/{sin^3 x}

Интегрируем:

y prime prime ~=~2~int{~}{~}{{cos x}/{sin^3 x} dx}~=~2~int{~}{~}{ (sin x)^{-3} d (sin x)}~=~2/{-3+1} (sin x)^{-3+1}~+~C~=~

~=~minus~ 1/{sin^2 x}~+~C_1

Интегрируем еще раз:

y prime ~=~minus~int{~}{~}{dx/{sin^2 x} }~+~C_1 int{~}{~}{dx}~=~ctg x ~+~C_1 x ~+~ C_2

y ~=~int{~}{~}{ctg x^{~} dx} ~+~int{~}{~}{(C_1 x ~+~ C_2)dx}~=~int{~}{~}{{~cos x dx}/{sinx}}~+~1/2 C_1 x^2 ~+~ C_2 x ~=~

~=~int{~}{~}{{~d(sinx)}/{sinx}}~+~1/2 C_1 x^2 ~+~ C_2 x~=~ln delim{|}{sin x}{|}~+~1/2 C_1 x^2 ~+~ C_2 x~+~C_3

Преобразуем постоянные интегрирования:

C_1 right 2 C_3;~~~C_3 right C_1

Ответ

y~=~ln delim{|}{sin x}{|}~+~C_1 ~+~ C_2 x~+~C_3 x^2

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru