Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных
Русский  |  English
интегралов

Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Показано как распознать обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Рассмотрен способ решения обобщенных однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Дан пример подробного решения обобщенного однородного дифференциального уравнения.
Обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка это уравнение вида:
, где α ≠ 0, α ≠ 1, f – функция.

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α· y, x → t·x.
Если удастся выбрать такое значение α, при котором постоянная t сократится, то это – обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Решение

Делаем замену y → t α· y, x → t·x, y′ → t α–1 y′:
;
.
Разделим на t α+5:
;
.
Уравнение не будет содержать t, если
4α – 6 = 0,   α = 3/2.
Поскольку при α = 3/2, t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение.

Решение обобщенного однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)   .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α.
Действительно,
.
Отсюда
;   .
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
.

Это – однородное уравнение. Оно решается подстановкой:
y = z · t,
где z – функция от t.
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α,
где z – функция от x.

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение

(П.1)   .

Решение

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α· y, x → t·x, y′ → t α–1 y′.
.
Разделим на t α:
.
t сократится, если положить α = –1. Значит – это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y = z x α = z x1,
где z – функция от x.
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1):
(П.1)   ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные – умножим на dx и разделим на x z 2. При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов:
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С:
.

Возвращаемся к переменной y. Подставляем z = xy:
.
Делим на x:
(П.2)   .

Когда мы делили на z 2, мы предполагали, что z ≠ 0. Теперь рассмотрим решение z = xy = 0, или y = 0.
Поскольку при y = 0, левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0.

Ответ

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru