Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных
Русский  |  English
интегралов

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Показано как определить, что дифференциальное уравнение первого порядка является однородным. Рассмотрен метод решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
, где f – функция.

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx:   y → ty, x → tx. Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется.
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение однородным

Решение

Делаем замену y → ty, x → tx.


Делим на t 2.

.
Уравнение не содержит t. Следовательно, это однородное уравнение.

Метод решения однородного дифференциального уравнения

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux. Покажем это. Рассмотрим уравнение:
(i)  
Делаем подстановку:
y = ux,
где u - функция от x. Дифференцируем по x:
y′ = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение (i).
,
,
(ii)   .
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f(u) – u ).

При f(u) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:

Интегрируем:

Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:

Заменим постоянную интегрирования C на ln C, тогда

Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C. Тогда общий интеграл примет вид:

Далее следует рассмотреть случай f(u) – u = 0.
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).

Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g(x, y), то дальнейшие преобразования справедливы при g(x, y)0. Поэтому следует отдельно рассматривать случай g(x, y) = 0.

Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить уравнение

Решение

Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty, x → tx. При этом y′ → y′.
,
,
.
Сокращаем на t.

Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.

Делаем подстановку y = ux, где u – функция от x.
y′ = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0,   |x| = x. При x ≤ 0,   |x| = – x. Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0, а нижний – к значениям x ≤ 0.
,
Умножаем на ± dx и делим на   .

При u2 – 1 ≠ 0 имеем:

Интегрируем:

Интегралы табличные,
.

Применим формулу:
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2.
Положим a = u, .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.

Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C.

Умножаем на x и подставляем ux = y.
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.

Теперь рассмотрим случай, u2 – 1 = 0.
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

,
,
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru