Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных
Русский  |  English
интегралов

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Определение

Пусть s(x), q(x) – функции от переменной x;
p(y), r(y) – функции от переменной y.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида

Метод решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение:
(i)   .
Выразим производную y′ через дифференциалы.
;
.
Умножим на dx.
(ii)  
Разделим уравнение на s(x) r(y). Это можно сделать, если s(x) r(y) ≠ 0. При s(x) r(y) ≠ 0 имеем
.
Интегрируя, получаем общий интеграл в квадратурах
(iii)   .

Поскольку мы делили на s(x) r(y), то получили интеграл уравнения при s(x) ≠ 0 и r(y) ≠ 0. Далее нужно решить уравнение
r(y) = 0.
Если это уравнение имеют корни, то они также являются решениями уравнения (i). Пусть уравнение r(y) = 0. имеет n корней ai, r(ai) = 0, i = 1, 2, ... , n. Тогда постоянные y = ai являются решениями уравнения (i). Часть этих решений может уже содержаться в общем интеграле (iii).

Заметим, что если исходное уравнение задано в форме (ii), то следует также решить уравнение
s(x) = 0.
Его корни bj, s(bj) = 0, j = 1, 2, ... , m. дают решения x = bj.

Пример решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Решить уравнение

Решение

Выразим производную через дифференциалы:


Умножим на dx и разделим на   . При y ≠ 0 имеем:

Интегрируем.

Вычисляем интегралы, применяя формулу .



Подставляя, получаем общий интеграл уравнения
.

Теперь рассмотрим случай, y = 0.
Очевидно, что y = 0 является решением исходного уравнения. Оно не входит в общий интеграл .
Поэтому добавим его в окончательный результат.

Ответ

;   y = 0.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru