Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных
Русский  |  English
интегралов

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Рассмотрен способ решения дифференциальных уравнений, приводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим дифференциальное уравнение
(i)   ,
где f – функция, a, b, c – постоянные, b ≠ 0.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Метод решения

Делаем подстановку:
u = ax + by + c
Здесь y – функция от переменной x. Поэтому u – тоже функция от переменной x.
Дифференцируем по x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Подставляем (i)
u′ = a + by′ = a +b f(ax + by + c) = a + b f(u)
Или:
(ii)  
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на a + b f(u). Если a + b f(u) ≠ 0, то

Интегрируя, мы получаем общий интеграл исходного уравнения (i) в квадратурах:
(iii)   .

В заключении рассмотрим случай
(iv)   a + b f(u) = 0.
Предположим, что это уравнение имеет n корней u = ri, a + b f(ri) = 0, i = 1, 2, ... n. Поскольку функция u = ri является постоянной, то ее производная по x равна нулю. Поэтому u = ri является решением уравнения (ii).
Однако, уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением (i) и, возможно, не все решения u = ri, выраженные через переменные x и y, удовлетворяют исходному уравнению (i).

Таким образом, решением исходного уравнения является общий интеграл (iii) и некоторые корни уравнения (iv).

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными

Решить уравнение

(1)  

Решение

Делаем подстановку:
u = x – y
Дифференцируем по x и выполняем преобразования:
;

Умножаем на dx и делим на u2.

Если u ≠ 0, то получаем:

Интегрируем:

Применяем формулу из таблицы интегралов:

Вычисляем интеграл

Тогда
;
, или

Общее решение:
.

Теперь рассмотрим случай u = 0, или u = x – y = 0, или
y = x.
Поскольку y′ = (x)′ = 1, то y = x является решением исходного уравнения (1).

Ответ

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru