Методы решения физико-математических задач

Типы дифференциальных уравнений

Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ), допускающие решение. Для каждого типа указана ссылка на страницу, содержащую метод решения и подробные примеры.

Далее в тексте s,~p,~q,~r - функции своих аргументов. Штрих ' означает производную по аргументу. a,~b,~c,~a_1,~b_1,~c_1,~a_2,~b_2,~c_2,~...~alpha,~beta - постоянные.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Особенности дифференциальных уравнений первого порядка

При решении уравнений первого порядка функцию y и переменную x следует считать равноправными. То есть решение может быть в виде y(x) так и в виде x(y).

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Уравнения с разделяющимися переменными

p(x) q(y) y prime + r(x) s(y) = 0
p(x)q(y)dy + r(x)s(y)dx = 0
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

y prime = f(ax + by + c)
Подробнее >>>

Однородные уравнения

y prime = f(y/x)
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к однородным

y prime = f({a_1 x+ b_1 y + c_1}/{a_2 x+ b_2 y + c_2})
Подробнее >>>

Обобщенные однородные уравнения

y prime = f(y/{x^alpha})x^{alpha minus 1}
Подробнее >>>

Линейные дифференциальные уравнения

  • Линейное по y
    s(x)y prime + p(x)y + q(x) = 0;
    s(x)dy + (p(x)y + q(x))dx = 0.
  • Линейное по f(y)
    s(x)f prime (y) y prime + p(x)f(y) + q(x) = 0;
    s(x)f prime (y) dy +(p(x)f(y) + q(x))dx = 0.
  • Линейное по x
    s(y)x prime + p(y)x + q(y) = 0;
    s(y)dx + (p(y)x + q(y))dy = 0.
  • Линейное по f(x)
    s(y)f prime (x)x prime + p(y)f(x) +q(y) = 0;
    s(y)f prime (x)dx +(p(y)f(x) + q(y))dy = 0.

Подробнее >>>

Уравнения Бернулли

s(x)y prime + p(x)y + q(x)y^n = 0
Подробнее >>>

Уравнения Риккати

s(x)y prime + p(x)y^2 + q(x)y + r(x) = 0
Подробнее >>>

Уравнения Якоби

(a_1 x + b_1 y + c_1)dx +(a_2 x + b_2 y + c_2)dy +(a_3 x + b_3 y + c_3)(xdy minus ydx) = 0
Подробнее >>>

Уравнения в полных дифференциалах

p(x,~y)dx + q(x,~y)dy = 0
при условии ~{partial p}/{partial y}={partial q}/{partial x}
Подробнее >>>

Интегрирующий множитель

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то следует попытаться найти интегрирующий множитель, чтобы свести его к уравнению в полных дифференциалах.
Подробнее >>>

Уравнения, не решенные относительно производной y'

Уравнения, допускающие решение относительно производной y'

Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной y'. Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

Уравнения, допускающие разложение на множители

f_1(x,~y,~y prime) dot f_2(x,~y,~y prime) dotf_3(x,~y,~y prime) dot ... dot f_n(x,~y,~y prime) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x и y

f(y prime) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x или y

f(x,~y prime) = 0, или f(y,~y prime) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, разрешенные относительно y

Уравнения Клеро

y = y prime x + p(y prime )
Подробнее >>>

Уравнения Лагранжа

y = f(y prime )x + p(y prime)
Подробнее >>>

Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

y = x y prime + x^alpha f(y prime)
y = x y prime + y^alpha f(y prime)
Подробнее >>>

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

y^(n) = f(x)
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие y

f(x,~y prime,~y prime prime,~y prime prime prime,~...) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, не содержащие x

f(y,~y prime,~y prime prime,~y prime prime prime,~...) = 0
Подробнее >>>

Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...

f(x,~{y prime}/y,~{y prime prime}/y,~{y prime prime prime}/y,~...) = 0
Подробнее >>>

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

a_n y^(n) + ... + a_2 y^{prime prime} + a_1 y^{prime} + a_0 y = 0
Подробнее >>>

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

a_n y^(n) + ... + a_2 y^{prime prime} + a_1 y^{prime} + a_0 y = f(x)
Решение методом Бернулли (двух функций) >>>
Решение методом Лагранжа (вариация постоянных) >>>
Решение линейной подстановкой >>>

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

a_n y^(n) + ... + a_2 y^{prime prime} + a_1 y^{prime} + a_0 y = e^{alpha x}dot(P_{s1}(x)cos(beta x)+Q_{s2}(x)sin(beta x)),
где Ps1(x), Qs2(x) - многочлены степеней s1 и s2.
Подробнее >>>

Уравнения Эйлера

a_n x^n y^(n) + a_{n-1} x^{n-1} y^(n-1) + ...+ a_2 x^2 y{prime prime} + a_1 x y{prime} + a_0 y = f(x)
Подробнее >>>

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

.     Опубликовано: