Методы решения физико-математических задач

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков
Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков, допускающие решение. Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы, с подробным описанием методов решения и примерами.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием > > >

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде


Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь – функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде > > >

Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде


Для решения этого уравнения, делаем подстановку
.
Считаем, что является функцией от . Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде > > >

Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...


Для решения этого уравнения, делаем подстановку
,
где – функция от . Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков > > >

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1)   ,
где – функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2)   ,
где – произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка – это n линейно независимых решений этого уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где – общее решение однородного уравнения (1).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:
(3)   .
Здесь – действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений  , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2)   .

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(4)   .

Если это уравнение имеет различные корни  , то фундаментальная система решений имеет вид:
.

Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения    и  , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .

Кратным корням    кратности соответствуют линейно независимых решений:  .

Кратным комплексным корням    кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:  
.

См. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами > > >

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение вида
,
где   – многочлены степеней s1 и s2; – постоянные.

Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s – наибольшее из s1 и s2.

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:
.

После этого получаем общее решение:
.

См. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью > > >

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами


Здесь возможны три способа решения.

1) Метод Бернулли.
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
.
Затем делаем подстановку
,
где – функция от переменной x. Получаем дифференциальное уравнение для u, которое содержит только производные от u по x. Выполняя подстановку , получаем уравнение n – 1 - го порядка.

См. Решение дифференциальных уравнений высших порядков методом Бернулли > > >

2) Метод линейной подстановки.
Сделаем подстановку
,
где – один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

См. Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами > > >
Пример решения ЛНДУ с действительными корнями характеристического уравнения > > >
Пример решения ЛНДУ с комплексными корнями характеристического уравнения > > >

3) Метод вариации постоянных Лагранжа.
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2)   .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x. Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где – неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .

См. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа > > >
Примеры решений ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа > > >

Уравнение Эйлера


Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .

См. Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения > > >
Примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера > > >
Пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера методом вариации постоянных > > >

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

.     Опубликовано:   Изменено: