Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков
Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) высших порядков, допускающие решение. Кратко изложены методы их решения. Указаны ссылки на страницы, с подробным описанием методов решения и примерами.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием > > >

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде


Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь – функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде > > >

Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде


Для решения этого уравнения, делаем подстановку
.
Считаем, что является функцией от . Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде > > >

Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...


Для решения этого уравнения, делаем подстановку
,
где – функция от . Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков > > >

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1)   ,
где – функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2)   ,
где – произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка – это n линейно независимых решений этого уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где – общее решение однородного уравнения (1).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:
(3)   .
Здесь – действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений  , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2)   .

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(4)   .

Если это уравнение имеет различные корни  , то фундаментальная система решений имеет вид:
.

Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения    и  , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .

Кратным корням    кратности соответствуют линейно независимых решений:  .

Кратным комплексным корням    кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:  
.

См. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами > > >

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение вида
,
где   – многочлены степеней s1 и s2; – постоянные.

Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s – наибольшее из s1 и s2.

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:
.

После этого получаем общее решение:
.

См. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью > > >

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами


Здесь возможны два способа решения.

1) Метод понижения порядка.
Сделаем подстановку
,
где – один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

См. Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами > > >
Пример решения ЛНДУ с действительными корнями характеристического уравнения > > >
Пример решения ЛНДУ с комплексными корнями характеристического уравнения > > >

2) Метод вариации постоянных Лагранжа.
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2)   .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x. Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где – неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .

См. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа > > >
Примеры решений ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа > > >

Уравнение Эйлера


Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .

См. Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения > > >
Примеры решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера > > >
Пример решения неоднородного дифференциального уравнения Эйлера методом вариации постоянных > > >

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано: