Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка

Формулировка и доказательство теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения произвольного порядка. Доказательство производится путем сведения уравнения к системе уравнений первого порядка.

Здесь мы рассмотрим теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения (ДУ) произвольного порядка. Для доказательства теоремы мы сведем ДУ к системе ДУ первого порядка и воспользуемся результатом теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений.

Формулировка теоремы

Пусть дано дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1)  
с начальными условиями при :
(2)   , , , ... , ,
где – некоторые числа (постоянные).
Пусть – непрерывная функция от переменных в замкнутой области :
;   ;   ;   ;   ... ;  
и, следовательно, ограничена, по абсолютной величине, некоторым положительным значением :
(3)   .
Здесь и есть некоторые положительные числа.
И пусть функция удовлетворяет в области условию Липшица:
(4)   ,
где – положительное число;
;   ;   ;   ... ;   ;
;   ;   ;   ... ;   .
Тогда существует единственное решение уравнения (1):
,
удовлетворяющее начальным условиям (2), определенное и непрерывное для значений в интервале:
,
где есть наименьшее из двух чисел и .

Доказательство теоремы

Приведение к системе дифференциальных уравнений

Для доказательства, приведем уравнение
(1)  
к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого вводим вспомогательных функций от переменной :
.
Свяжем их соотношениями:
;   ;   ;   ...   .

Дифференцируя уравнение по , находим:
;
.
Дифференцируя еще раз, имеем:
;
.
Таким образом
.
При     имеем:
.
Дифференцируем по :
.

Тогда исходное уравнение (1) можно представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
(5.1)   ;
(5.2)   ;
(5.3)   ;
...
(5.n)   ,
с начальными условиями:
(6)   , , , ... , .

Применение теоремы единственности и существования для системы дифференциальных уравнений

Теперь воспользуемся результатом теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений.

В нашем случае
;
;
...
;
.
Для удобства переобозначим переменные.
;
;
...
;
.

Все функции непрерывны по своим аргументам. непрерывна по условию теоремы. Остальные функции зависят только от одного из аргументов и являются линейными функциями. Поэтому они тоже непрерывны.

Все функции удовлетворяют условию Липшица. удовлетворяет условию Липшица по условию теоремы. Частные производные остальных функций либо равны нулю ( при ), либо равны единице ( при ). Поэтому частные производные непрерывны. Из этого следует, что функции удовлетворяют условию Липшица. Доказательство этого утверждения приведено в разделе “Условие Липшица”.

Итак, все условия теоремы существования и единственности решения системы ДУ выполнены. Поэтому решение системы (5) с начальными условиями (6) существует и единственно. И, следовательно, решение дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2) также существует и единственно.

Теорема доказана.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru