Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Бесконечно малые последовательности – определение и свойства

Свойства бесконечно малых последовательностей
Приводится определение бесконечно малой последовательности. Она обладает свойствами сходящихся последовательностей. Также имеются свойства, характерные только для последовательностей с пределом равным нулю. Приводятся доказательства таких свойств. Рассмотрен пример определения бесконечно малой последовательности.

Определение
Бесконечно малая последовательность {αn} – это сходящаяся последовательность, предел которой равен нулю:
.

Согласно определению предела последовательности это означает, что для любого положительного числа существует такое натуральное число N(ε), зависящее от ε, что для всех натуральных n > N(ε) выполняется неравенство
.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися последовательностями. Поэтому они обладают всеми их свойствами. Формулировки этих свойств и ссылки на страницы с доказательствами приведены на странице
Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Следующие свойства являются прямым следствием арифметических свойств, но имеют некоторую специфику в формулировке для последовательностей, предел которых равен нулю.

Свойство 1

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Также линейная комбинация конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Свойство 2

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Следующие свойства относятся только к бесконечно малым последовательностям и не являются прямым следствием свойств сходящихся последовательностей.

Свойство 3

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Свойство 4

Для того, чтобы последовательность {xn} имела предел b, необходимо и достаточно, чтобы
xn = b + αn,
где {αn} – бесконечно малая последовательность.

Доказательства свойств

Свойство 3

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство

Пусть последовательность ограничена некоторым числом :
(3.1)   .

Пусть последовательность – бесконечно малая. То есть имеется такая функция , зависящая от переменной , что для любого положительного значения переменной , выполняется неравенство
(3.2)     при  .

Пусть последовательность является произведением последовательностей и . Ее общий член имеет вид:
.
Нам нужно найти такую функцию , при которой выполняется неравенство
(3.3)     при  .

Применим (3.1) и (3.2):
.
Это выполняется при . Итак,
.
Положим :
.

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(3.3)     при  .

Свойство доказано.

Свойство 4

Для того, чтобы последовательность имела предел b, необходимо и достаточно, чтобы
(4.1)   ,
где – бесконечно малая последовательность.

Доказательство

Необходимость. Пусть . Из (4.1) имеем: . Используем арифметические свойства пределов:
.
То есть – бесконечно малая последовательность.

Достаточность. Пусть . На основании арифметических свойств пределов имеем:
.

Свойство доказано.

Пример

Используя определение предела последовательности доказать, что последовательность

является бесконечно малой.

Решение

Рассмотрим неравенство:
(П1)   .
Подставим значение и опустим знак модуля, поскольку все члены положительные:
(П2)   .

Далее замечаем, что поскольку номера n являются натуральными числами, то
;
;
.
Тогда
;
.
С помощью этих неравенств, оценим (П2):
.

Итак, мы получили следующую оценку:
(П3)   .
Используем ее в (П1):
(П4)   .
Рассмотрим второе неравенство
(П5)   .
Согласно свойствам неравенств, если выполняются (П3) и (П5), то выполняется и (П1):
(П1)   .

Решаем неравенство (П5):
(П6)   .
Неравенства (П5) и (П6) эквивалентны. Поэтому, если выполняется (П6), то выполняется (П5), а вместе с ним и (П1). То есть
  при  .

Вводим число N:
(П7)   .
Тогда если взять в качестве N любое целое, удовлетворяющее неравенству , то неравенство (П6) будет выполняться при . Тогда при выполняется и (П1). Итак,
  при  ,
где N есть целое число, удовлетворяющее неравенству . Это и означает, что предел исходной последовательности равен нулю и, следовательно, она является бесконечно малой.

Ответ

Опубликовано: