Условие Коши и фундаментальные последовательности
- Условие Коши
- Последовательность {xn} удовлетворяет условию Коши, если для любого положительного действительного числа ε > 0 существует такое натуральное число Nε, что
(1) |xn – xm| < ε при n > Nε , m > Nε. - Фундаментальная последовательность
- Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называют фундаментальными последовательностями.
Условие Коши можно представить и в другом виде. Пусть m > n. Если m < n, то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:
;
.
Здесь p – натуральное число.
Тогда условие Коши можно сформулировать так.
- Условие Коши 2
- Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что
(2) при и любых натуральных p.
Число , фигурирующее в условии Коши, зависит от ε. То есть оно является функцией от действительной переменной ε, областью значений которой является множество натуральных чисел. Число также можно записать в виде , как это принято для обозначения функций.
Критерий Коши сходимости последовательности
Критерий Коши сходимости последовательности
Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.Доказательство необходимости
Пусть последовательность сходится к конечному пределу a:
.
Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого выполняется неравенство:
(1.1) при .
См. Определение предела последовательности.
Покажем, что последовательность удовлетворяет условию Коши ⇑. Для этого нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого , выполняются неравенства:
при .
Воспользуемся свойствами неравенств и применим (1.1):
.
Последнее неравенство выполняется при .
Заменим на . Тогда для любого имеем:
при ,
где .
Необходимость доказана.
Доказательство достаточности
Пусть последовательность удовлетворяет условию Коши ⇑. Докажем, что она сходится к конечному числу. Доказательство разделим на три части. Сначала докажем, что последовательность ограничена. Затем применим теорему Больцано – Вейерштрасса, согласно которой у ограниченной последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к конечному числу. И наконец, покажем, что к этому числу сходится вся последовательность.
-
Докажем, что последовательность , удовлетворяющая условию Коши ⇑, ограничена. Для этого, в условии Коши, положим . Тогда существует такое натуральное число , при котором выполняются неравенства:
(2.1.1) при .Возьмем любое натуральное число и зафиксируем член последовательности . Обозначим его как , чтобы подчеркнуть, что это постоянное, не зависящее от индекса n число.
Подставляем в (2.1.1) и выполняем преобразования. При имеем:
;
;
;
;
.
Отсюда видно, что при , члены последовательности ограничены. Поскольку, при , имеется только конечное число членов, то и вся последовательность ограничена. -
Применим теорему Больцано – Вейерштрасса. Согласно этой теореме, у ограниченной последовательности, существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому конечному числу a. Обозначим такую подпоследовательность как . Тогда
. -
Покажем, что к числу a сходится вся последовательность.
Поскольку последовательность удовлетворяет условию Коши ⇑, то имеется некоторая функция , при которой для любого выполняются неравенства:
при .
В качестве возьмем член сходящейся подпоследовательности и заменим ε1 на ε/2:
(2.3.1) при .Зафиксируем n. Тогда (2.3.1) является неравенством, содержащим последовательность , у которой исключено конечное число первых членов с . Конечное число первых членов не влияет на сходимость (см. Влияние конечного числа членов на сходимость последовательности). Поэтому предел при усеченной последовательности по прежнему равен a. Применяя свойства пределов, связанные с неравенствами и арифметические свойства пределов, при , из (2.3.1) имеем:
при .
Воспользуемся очевидным неравенством: . Тогда
при .
То есть для любого существует натуральное число , так что
при .
Это означает, что число a является пределом всей последовательности (а не только ее подпоследовательности .
Теорема доказана
Пример применения признака Коши
Признак Коши применяется при продолжении показательной функции, определенной для рациональных чисел, на область действительных чисел. С его помощью доказывается, что если последовательность рациональных чисел {rn} сходится, то и последовательность {a rn}, где a > 0, также является сходящейся. Доказательство приводится здесь ❯.
Использованная литература:
О.В. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.