Методы решения физико-математических задач

Определение бесконечно большой последовательности

Определение бесконечно большой последовательности
Приводится определение бесконечно большой последовательности. Рассмотрены понятия окрестностей бесконечно удаленных точек. Дано универсальное определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам. Рассмотрены примеры применения определения бесконечно большой последовательности.

Определение
Последовательность {βn} называется бесконечно большой последовательностью, если для любого, сколь угодно большого числа M, существует такое натуральное число NM, зависящее от M, что для всех натуральных n > NM выполняется неравенство
n| > M.
В этом случае пишут
.
Или     при  .
Говорят, что стремится к бесконечности, или сходится к бесконечности.

Если , начиная с некоторого номера N0, то
    ( сходится к плюс бесконечности).
Если же , то
    ( сходится к минус бесконечности).

Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности:
(1)   .
(2)   .
(3)   .

Последовательности с пределами (2) и (3) являются частными случаями бесконечно большой последовательности (1). Из этих определений следует, что если предел последовательности равен плюс или минус бесконечности, то он также равен и бесконечности:
.
Обратное, естественно, не верно. Члены последовательности могут иметь чередующиеся знаки. При этом предел может равняться бесконечности, но без определенного знака.

Заметим также, что если какое-то свойство выполняется для произвольной последовательности с пределом равным бесконечности, то это же свойство выполняется и для последовательности, чей предел равен плюс или минус бесконечности.

Во многих учебниках по математическому анализу, в определении бесконечно большой последовательности указывается, что число M является положительным: M > 0. Однако это требование является лишним. Если его отменить, то никаких противоречий не возникает. Просто малые или отрицательные значения для нас не представляют никакого интереса. Нас интересует поведение последовательности при сколь угодно больших положительных значениях M. Поэтому, если возникнет необходимость, то M можно ограничить снизу любым, наперед заданным числом a, то есть считать, что M > a.

Когда же мы определяли ε - окрестность конечной точки, то требование ε > 0 является важным. При отрицательных значениях, неравенство вообще не может выполняться.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Когда мы рассматривали конечные пределы, то ввели понятие окрестности точки. Напомним, что окрестностью конечной точки является открытый интервал, содержащий эту точку. Также мы можем ввести понятия окрестностей бесконечно удаленных точек.

Пусть M – произвольное число.
Окрестностью точки 'бесконечность', , называется множество .
Окрестностью точки 'плюс бесконечность', , называется множество .
Окрестностью точки 'минус бесконечность', , называется множество .

Строго говоря, окрестностью точки 'бесконечность' является множество
(4)   ,
где M1 и M2 – произвольные положительные числа. Мы будем использовать первое определение, , поскольку оно проще. Хотя, все сказанное ниже, также справедливо и при использовании определения (4).

Теперь мы можем дать единое определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и бесконечным пределам.

Универсальное определение предела последовательности.
Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N, что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Таким образом, если предел существует, то за пределами окрестности точки a может находиться только конечное число членов последовательности, или пустое множество. Это условие является необходимым и достаточным. Доказательство этого свойства, точно такое, как для конечных пределов.
См. «Основные свойства пределов последовательностей: Свойство 1»

Свойство 1
Для того, чтобы точка a (конечная или бесконечно удаленная) являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.

Также иногда вводят понятия ε – окрестностей бесконечно удаленных точек.
Напомним, что ε – окрестностью конечной точки a называется множество .
Введем следующее обозначение. Пусть обозначает ε – окрестность точки a. Тогда для конечной точки,
.
Для бесконечно удаленных точек:
;
;
.
Используя понятия ε – окрестностей, можно дать еще одно универсальное определение предела последовательности:

Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число Nε, зависящее от ε, что для всех номеров n > Nε члены xn принадлежат ε – окрестности точки a:
.

С помощью логических символов существования и всеобщности, это определение запишется так:
.

Примеры бесконечно больших последовательностей

Сначала мы рассмотрим три простых похожих примера, а затем решим более сложный.

Пример 1

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Решение

Общий член заданной последовательности имеет вид:
.
Нам нужно найти такую функцию , при которой система неравенств имеет решение:
.

Рассмотрим первое неравенство и выполняем преобразования:
(П1.1)   ;
;
.
Злесь нас интересуют сколь угодно большие значения числа M. Поэтому далее считаем, что . Отрицательные значения числа M интереса не представляют, поскольку для них предыдущее неравенство выполняется для любых n. Воспользуемся свойствами неравенств. Применим к обеим частям монотонно возрастающую функцию . При этом знак неравенства не изменится:
(П1.2)   .
Неравенства (П1.1) и (П1.2) эквивалентны. Поэтому если выполняется (П1.2), то выполняется и (П1.1).

Теперь вводим число N. Для этого перепишем (П1.2) следующим образом:
.
Отсюда видно, что если выполняются неравенства и , то выполняется и неравенство (П1.2), а вместе с ним и (П1.1). То есть мы нашли нужную функцию . При заданном значении M, в качестве N нужно взять любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .

Ответ

.

Пример 2

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Решение

Выпишем общий член заданной последовательности:
.
Нам нужно найти такую функцию , при которой система неравенств имеет решение:
.

Рассмотрим первое неравенство и решаем его:
;
.
Вводим число N:
.

Ответ

При заданном M, в качестве N можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее следующему неравенству:
.

Пример 3

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Решение

Выпишем общий член заданной последовательности:
.
Нам нужно найти такую функцию , при которой система неравенств имеет решение:
.

Рассмотрим первое неравенство и решаем его:
;
.
Вводим число N:
.

Ответ

При заданном M, в качестве N можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее следующему неравенству:
.

Пример 4

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Решение

Выпишем общий член последовательности:
.
Нам нужно найти такую функцию , при которой система неравенств имеет решение:
(П4.1)   .

Рассмотрим первое неравенство и выполняем преобразования:
(П4.2)   ;
(П4.2′)   .
Конечно, можно получить точное решение этого неравенства. Но мы пойдем более простым путем. Мы получим подмножество решений (П4.2′), которого будет достаточно, чтобы решить главную задачу – найти функцию . Это связано с тем, что зависимость определяется не однозначно. Действительно, если (П4.1) имеет решение при некоторой функции , то эта система также имеет решение и для другой функции , где K – натуральное число.

Итак, идем простым путем. Упростим (П4.2′):
.
Тогда если , то выполняется и (П4.2′). То есть (П4.2) выполняется при
(П4.3)   .

Вводим число N:
.
Отсюда видно, что если выполняются неравенства и , то выполняется и неравенство (П4.3), а вместе с ним и (П4.1). То есть мы нашли нужную функцию . При заданном значении M, в качестве N нужно взять любое натуральное, удовлетворяющее неравенству .

Ответ

.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

.     Опубликовано:   Изменено: