Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Определение предела последовательности

Определение предела последовательности
Приводится определение числовой последовательности и предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение отсутствия предела последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.

Определение последовательности

Самым важным понятием математического анализа является понятие предела. Собственно, математический анализ – это алгебра плюс пределы. Изучение пределов мы начнем с изучения пределов числовых последовательностей. Но в начале дадим определение последовательности.

Определение.
Числовой последовательностью называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число .
Элемент называют n-м членом или элементом последовательности.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Последовательность мы будем обозначать в виде n-го члена, заключенного в фигурные скобки: . Вот несколько примеров последовательностей:
,   ,   .

Другими словами числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Здесь мы рассматриваем бесконечные последовательности, элементы которых определены для всех натуральных чисел n. Главным образом, нас будет интересовать вопрос, как ведут себя последовательности при n, стремящемся к бесконечности: .

Например, элементы последовательности , с ростом n, неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Элементы последовательности , неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. Элементы последовательности , с ростом n все ближе и ближе подходят к значению нуль – стремятся к нулю. А вот элементы последовательности заполняют интервал , не стремясь ни к какому значению.

Определение предела последовательности

В первую очередь нас будут интересовать последовательности, стремящиеся к определенному числу, как говорят – сходящиеся последовательности. Интуитивно ясно, что если последовательность , с ростом n, стремится к некоторому числу a, то элементы этой последовательности должны быть все ближе к этому числу. То есть разность должна стремиться к нулю при . Число a, в этом случае, называют пределом последовательности. Но мы должны дать точное математическое определение.

Определение.
Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
Предел последовательности обозначается так:
.
Или     при   .

Преобразуем неравенство:
;
;
.

Открытый интервал (a – ε, a + ε) называют ε - окрестностью точки a.

Последовательность, у которой существует предел называется сходящейся последовательностью. Также говорят, что последовательность сходится к a. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a, что какую бы ε - окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε - окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε, мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε - окрестностью точки a. А первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε - окрестности может находиться не более элементов – то есть конечное число.

Из определения предела следует, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно. То есть может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n, должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
(1)   .
Здесь мы явно указали, что число N зависит от ε, записав это в виде нижнего индекса: .

Определение отсутствия предела

Теперь рассмотрим обратное утверждение, что точка a не является пределом последовательности.

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n, что
.

Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2)   .
Обратное утверждение означает, что можно выбрать такую ε - окрестность точки a, за пределами которой будет находиться бесконечное число членов последовательности.

Рассмотрим пример. Пусть задана последовательность с общим членом
(3)  
Любая окрестность точки содержит бесконечное число членов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число членов. Возьмем ε - окрестность точки   с ε = 1. Это будет интервал ( –1, +1). Все члены, кроме первого, с четными n принадлежат этому интервалу. Но все члены с нечетными n находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству . Поскольку число нечетных членов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число членов. Поэтому точка не является пределом последовательности.

Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое , так что, для любого натурального n, существует нечетное , для которого выполняется неравенство
.

Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε - окрестность точки a, которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число членов последовательности.

Эквивалентное определение

Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε - окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε - окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a.

Окрестностью точки a называется любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность определяется так: , где ε1 и ε2 – произвольные положительные числа.

Тогда определение предела будет следующим.

Число a называется пределом последовательности , если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N, зависящее от и , что для всех натуральных выполняется неравенство
.

Можно доказать, что это определение эквивалентно определению, представленному в начале страницы. Мы будем пользоваться первым определением, поскольку оно проще.

Примеры

Здесь мы рассмотрим несколько примеров, в которых требуется доказать, что заданное число a является пределом последовательности. При этом нужно задать произвольные положительное число ε и определить функцию N от ε такую, что для всех выполняется неравенство .

Пример 1

Доказать, что  .

Решение

Воспользуемся определением предела последовательности. В нашем случае , .

Рассмотрим неравенство
(П1.1)   .
Подставляем наши значения и выполняем преобразования:
;
;
.
Поскольку n и ε положительные числа, то умножим обе части этого неравенства на (см. Основные виды неравенств и их свойства):
.

Таким образом, неравенство (П1) эквивалентно неравенству
(П1.2)   .
Введем число N и перепишем (П1.2) в следующем виде:
.
Согласно свойств неравенств, если   и  , то  . То есть, если в качестве N взять наименьшее целое , то неравенство (П1.2) будет выполняется при .

Поскольку неравенства (П1.1) и (П1.2) эквивалентны, то и неравенство (П1.1) будет выполняться при . Поэтому число является пределом заданной последовательности.

Ответ

Пример 2

С помощью определения предела последовательности доказать, что
.

Решение

Воспользуемся определением предела последовательности. В нашем случае , .

Рассмотрим неравенство
(П2.1)   .
Подставляем наши значения и выполняем преобразования:
;
.
Умножим обе части неравенства на положительное число :
;
(П2.2)   .

Неравенства (П2.1) и (П2.2) эквивалентны. Отбросим в (П2.2):
(П2.3)   .
Поскольку , то, если выполняется неравенство (П2.3), то выполняется и (П2.2). Это утверждение также можно записать так:
.
Но так как неравенства (П2.1) и (П2.2) эквивалентны, то, при выполнении (П2.3), выполняется и (П2.1).

Далее вводим число N:
.
Это означает, что если    и  , то  . Тогда если в качестве N взять наименьшее целое , то неравенство (П2.3) будет выполняться при . Поскольку из (П2.3) следует (П2.1), то и неравенство (П2.1) будет выполняться при . Поэтому число является пределом заданной последовательности.

Ответ

Пример 3

Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Решение

Воспользуемся определением предела последовательности. В нашем случае , .

Рассмотрим неравенство
(П3.1)   .
Подставляем наши значения и выполняем преобразования:
;
;
;
(П3.2)   .

Далее заметим, что . Заменим на 1:
(П3.3)   .
Поскольку правая часть неравенства (П3.2) не уменьшилась, то из (П3.3) следует (П3.2). Иначе это утверждение можно записать так:
.
Тогда, если выполняется неравенство (П3.3), то выполняется и (П3.2), а вместе с ним и (П3.1).

Теперь вводим число N:
.
Это означает, что если    и  , то  . Тогда если в качестве N взять наименьшее целое , то неравенство (П3.3) будет выполняться при . Поскольку из (П3.3) следует (П3.1), то и неравенство (П3.1) будет выполняться при . Поэтому число является пределом заданной последовательности.

Ответ

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Опубликовано: