Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Основные свойства пределов последовательностей

Основные свойства пределов последовательностей
Приводятся формулировки и доказательства основных свойств числовых последовательностей, имеющих конечный предел. Среди них: теорема единственности предела, ограниченность сходящейся последовательности, влияние конечного числа членов на сходимость.

Здесь мы рассмотрим основные свойства последовательностей, имеющих конечный предел. Формулировки всех определений, теорем и свойств сходящихся последовательностей собраны на странице
Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

При доказательстве свойств, мы будем использовать определение предела последовательности:
.

Свойства, непосредственно вытекающие из определения предела последовательности

Свойство

Если последовательность имеет предел a и p и q любые числа, для которых выполняется соотношение , то существует такой номер N, что для всех , члены последовательности принадлежат интервалу
.

Доказательство

Поскольку последовательность имеет предел a, то имеется такая функция , что для любого выполняется неравенство для . Возьмем, в качестве ε наименьшее из чисел a – p и q – a. Тогда все точки ε - окрестности точки a также принадлежат интервалу . Поскольку при члены последовательности находятся в ε - окрестности , то они также принадлежат заданному интервалу .
То есть для любых p и q мы нашли такое число , что для всех , выполняются неравенства
.
Число N можно записать в следующем виде:
.
Свойство доказано.

Свойство

Если последовательность имеет предел a, то, за пределами любой окрестности точки a, может находиться только конечное число членов последовательности.

Доказательство

Окрестностью точки a называется любой открытый интервал, содержащий эту точку. Окрестность можно задать двумя числами , для которых выполняются неравенства
.

Согласно приведенному выше свойству, существует такой номер N, что все члены последовательности с номерами , принадлежат окрестности
.
Таким образом, за пределами окрестности может находиться не более N элементов последовательности. То есть конечное число.
Свойство доказано.

Свойство

Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a, за пределами которой находится бесконечное число членов последовательности.

Доказательство

Допустим противное. Пусть число a не является пределом последовательности и за пределами любой окрестности точки a находится только конечное число членов последовательности. Выберем произвольную окрестность точки a. Тогда за ее пределами находится конечное число членов последовательности. Пусть N есть наибольший номер элемента, находящегося за пределами окрестности. Тогда все элементы с номерами принадлежат окрестности. Но это означает, что число a является пределом последовательности, что противоречит предположению.
Свойство доказано.

Теорема единственности предела числовой последовательности

Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Предположим противное, что у последовательности существует два различных предела:
  и  . Причем .

Поскольку, по предположению, существует предел , то это означает, что имеется функция . Так что при , для любого , выполняется неравенство . То есть члены последовательности, при , находятся в интервале
(1.1)   .

Точно также, поскольку существует предел , то имеется функция . Так что при , для любого , выполняется неравенство . Тогда при , члены последовательности находятся в интервале
(1.2)   .

Возьмем . То есть ε равно половине длины отрезка ab. При таком выборе, интервалы (1.1) и (1.2) не имеют общих точек.

Пусть N – наибольшее из чисел и . Тогда для всех , должны выполняться соотношения (1.1) и (1.2). То есть члены последовательности, при , должны находиться и в интервале (1.1) и в интервале (1.2). Возникает противоречие, поскольку эти интервалы не имеют общих точек.

Теорема доказана.

Мы взяли . Для доказательства можно было взять другие значения и , для которых интервалы (1.1) и (1.2) не имеют общих точек.

Теорема об ограниченности последовательности, имеющей предел

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство

Пусть последовательность имеет конечный предел a:
.
Это означает, что имеется функция такая, что при , для любого , выполняется неравенство
(2.1)   .

Возьмем любое значение ε. Например, . Тогда, в силу (2.1), члены последовательности с номерами , находятся в пределах интервала
(2.2)   .

Члены последовательности, с номерами , могут находиться за пределами интервала (2.2). Но их конечное число. Поэтому их значения ограничены некоторыми числами и . То есть, при , элементы последовательности ограничены интервалом
(2.3)   .
В качестве и можно взять значения наименьшего и наибольшего элемента при .

Итак, при , члены последовательности ограничены неравенствами (2.3), а при – неравенствами (2.2). Тогда для любого n, выполняются следующие неравенства:
(2.4)   ,
где есть наименьшее из чисел и ; – наибольшее из чисел и .

Неравенства (2.4) означают, что последовательность ограничена снизу значением , и сверху – значением , или просто ограничена. Что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Также ограниченность элементов можно записать одним неравенством:
,
где M есть наибольшее из чисел и .

Последовательность из постоянных членов

Свойство

Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C: , то эта последовательность имеет предел, и этот предел равен числу C.

Доказательство

В случае последовательности с одинаковыми членами, какую бы ε - окрестность точки C мы не взяли, все члены этой последовательности будут находиться в этой окрестности:
.
Действительно, подставив сюда , имеем:
;
,
что выполняется для всех n, поскольку .

Тогда в качестве функции мы можем взять любую постоянную, не зависящую от ε, например .

Тогда для любого положительного числа существует такое число , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
Это и означает, что число C является пределом последовательности .

Влияние конечного числа членов на сходимость

Свойство

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m членов, то это не повлияет на ее сходимость.

Доказательство

Пусть мы имеем последовательность . Рассмотрим случай, когда она имеет конечный предел
.
Это означает, что имеется такая функция , что для любого , члены последовательности с номерами , находятся в ε - окрестности числа a:
(3.1)   .

Рассмотрим последовательность , которая получается из , добавлением первых m членов. То есть
(3.2)  
и есть произвольные числа при .

Покажем, что . Для этого нам нужно найти такую функцию , что для любого , члены последовательности с номерами , находятся в интервале:
(3.3)   .
Подставим в (3.1) и прибавим к обеим частям второго неравенства m:
.
Заменим n + m на k:
.
Эти неравенства совпадают с (3.3), если положить   и обозначить индекс k буквой n. Поэтому число a является пределом последовательности .

Теперь рассмотрим последовательность , которая получается из , удалением первых m членов. То есть
(3.4)   .

Покажем, что . То есть нам нужно найти такую функцию , что для любого , члены последовательности с номерами , находятся в интервале
(3.5)   .

Для этого преобразуем неравенства (3.1). Заметим, что функция определена не однозначно. Ее всегда можно увеличить на любое натуральное число. То есть вместо (3.1) можно записать так:
(3.1.1)   .
Действительно, поскольку , то из неравенства следует неравенство .

Подставим в (3.1.1) n = k + m:
.
Подставим (3.4) и преобразуем:
.
Эти неравенства совпадают с (3.5), если положить и обозначить индекс k буквой n. Поэтому число a является пределом последовательности .

Итак, мы доказали, что если число a является пределом последовательности при , то число a также является пределом расширенной последовательности и усеченной последовательности .

Пусть теперь число a не является пределом последовательности . Докажем, что это число также не является пределом последовательности . Допустим противное, что число a является пределом последовательности . Но последовательность получается из последовательности удалением первых членов. Поэтому, как мы только что доказали, последовательность должна иметь предел a. Возникает противоречие. Поэтому число a не может быть пределом последовательности . Таким же способом можно доказать, что если число a не является пределом последовательности , то оно не является и пределом последовательности .

Тем самым мы доказали, что добавление или удаление первых членов не влияет на сходимость последовательности. Докажем, что изменение первых m членов также не влияет на сходимость. Для доказательства удалим первые m членов у исходной последовательности. Получим промежуточную последовательность, сходимость которой такая же, как у исходной. Затем добавим в промежуточную последовательность первые m членов с произвольными значениями. Получим последовательность, у которой, по отношению к исходной, изменены первые m членов. Сходимость такой последовательности такая же как и у промежуточной, а поэтому такая же как и у исходной.

Свойство доказано.

Опубликовано: