Методы решения физико-математических задач

Свойства пределов последовательностей, связанных неравенствами

Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами
Приводятся формулировки и доказательства теорем и свойств числовых последовательностей, элементы которых связаны неравенствами. Предполагается, что последовательности имеют конечные пределы.

Формулировки свойств и теорем

Теорема о пределе последовательности, ограниченной с одной стороны

Пусть последовательность {xn} имеет конечный предел a:  . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b). Тогда и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).
Доказательство ⇓

Следствие о пределе последовательности, ограниченной с двух сторон

Пусть последовательность {xn} имеет конечный предел a:  . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту)  b ≤ xn ≤ c. Тогда и предел a также принадлежит этому интервалу:  b ≤ a ≤ c.

Это свойство является следствием теоремы 1.

Следствие о пределах последовательностей, связанных неравенствами

Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b:    и  . И пусть элементы этих последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству   xn ≤ yn. Тогда   a ≤ b.
Доказательство ⇓

Аналогичное свойство имеется и для бесконечно больших последовательностей.

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей
Если и, начиная с некоторого номера,
, то
.
Доказательство
В частности, если, начиная с некоторого номера,
, то
если , то ;
если , то .

Теорема о промежуточной последовательности

Пусть последовательности {xn} и {zn} сходятся к одному конечному числу a:   . И пусть элементы последовательности {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам   xn ≤ yn ≤ zn, то есть находятся в промежутке между элементами последовательностей {xn} и {zn}. Тогда эта последовательность также сходится к числу a:   .
Доказательство,   Примеры.

Теорема о последовательностях, пределы которых связаны неравенством

Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b:    и  . Если a < b, то найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство xn < yn.
Доказательство ⇓

Доказательство свойств

Теорема о пределе последовательности, ограниченной с одной стороны

Все свойства ⇑ Пусть последовательность {xn} имеет конечный предел a:  . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b). Тогда и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство

1) Рассмотрим случай .

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что, для любого положительного числа ε > 0, выполняется система неравенств:
(1)   .

По условию теоремы, начиная с некоторого номера, . Предположим противное, что . Тогда – положительное число. Подставим в (1) :
.
Раскроем знак модуля и преобразуем:
;
.

То есть мы получили, что для всех номеров n, больших чем , должно выполняться неравенство . Но это противоречит исходному утверждению, что начиная с некоторого номера, .

2) Рассмотрим случай .

Можно построить доказательство, как и для первого случая, но мы воспользуемся полученным выше результатом. Умножим неравенство   на  –1:
.
Рассмотрим последовательность . Ее элементы, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству .
На основании арифметических свойств, последовательность имеет предел
.
Тогда, на основании первой части этой теоремы, . Или
;
.

Теорема доказана.

Примечание

Если элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют строгому неравенству , то предел a последовательности все равно удовлетворяет нестрогому неравенству .

Например, члены последовательности больше нуля:  .
Но .

Следствие о пределах последовательностей, связанных неравенствами

Все свойства ⇑ Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b:    и  . И пусть элементы этих последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству   xn ≤ yn. Тогда   a ≤ b.

Доказательство

Это свойство также является следствием теоремы о пределе последовательности, ограниченной с одной стороны ⇑.

Для доказательства рассмотрим последовательность с общим членом . Тогда, начиная с некоторого номера, . На основании теоремы 1:
.
На основании арифметических свойств пределов:
.
Тогда
;
.

Теорема о последовательностях, пределы которых связаны неравенством

Все свойства ⇑ Пусть последовательности {xn} и {yn} имеют конечные пределы a и b:    и  . Если a < b, то найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство xn < yn.

Доказательство

Рассмотрим последовательность с элементами
.
Согласно арифметическим свойствам, эта последовательность сходится, и ее предел равен
.
Это означает, что имеется функция такая, что для любого положительного числа ε > 0 выполняется система неравенств:
(5.1)   .

По условию  . Подставим в (5.1)    и введем обозначение . Тогда при имеем:
;
;
.
Поскольку  , то
.

Или
.
То есть при ,
.

Теорема доказана.

.     Опубликовано:   Изменено:

Меню