Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Приводится доказательство теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Рассмотрены случаи ограниченной и неограниченной последовательностей. Рассмотрен пример, в котором нужно, применяя теорему Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности и найти ее предел.

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Любая монотонная ограниченная последовательность {xn} имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {xn} для неубывающей и точной нижней границе, inf {xn} для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.

Доказательство

1) Пусть последовательность является неубывающей ограниченной последовательностью.

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(1.1)   .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную верхнюю границу
.
Это означает, что:

  • для всех n,
    (1.2)   ;
  • для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε, для которого
    (1.3)   .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
 при  .
Поскольку  , то
,
или
 при  .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Первая часть теоремы доказана.


2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью:
(2.1)    для всех n.

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:

  • для всех n выполняются неравенства:
    (2.2)   ;
  • для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε, для которого
    (2.3)   .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
 при  .
Поскольку  , то
,
или
 при  .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.


Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью.

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(3.1)   .

Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M, для которого
(3.2)   .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M, так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.


4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью.

Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1)    для всех n.

Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M, для которого
(4.2)   .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M, так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.

Пример решения задачи

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
,   ,   . . . ,   , . . .
После чего найти ее предел.

Решение

Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.

Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1)   .
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть . Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.

Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2)   .
Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.

Найдем этот предел. Обозначим его через a:
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей:
.
Условию удовлетворяет корень .

Ответ

.

Опубликовано: