Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Вывод производных высших порядков арктангенса (arctg x) и арккотангенса (arcctg x)

Производные высших порядков арктангенса и арккотангенса
Представлен вывод производных высших порядков арктангенса (arctg x) и арккотангенса (arcctg x). Производные даны в двух видах - выраженные через независимую переменную x и через арктангенс (арккотангенс). Вычислены производные от второго до пятого порядка.

Вывод производных высших порядков арктангенса

Пусть . Считаем, что нам известна производная арктангенса первого порядка:
(1)   .

Найдем производные высших порядков. Для этого разложим дробь на простейшие:

.
Здесь – мнимая единица, .

Тогда производную арктангенса первого порядка можно записать в следующем виде:
.

Дифференцируем раз и приводим дроби к общему знаменателю:

.
В числителе стоит разность комплексно сопряженных величин. Поэтому числитель является чисто мнимым. Пусть    обозначает мнимую часть стоящего следом выражения. Тогда производную арктангенса n-го порядка можно записать в следующем виде:
(2)   .
Здесь выражение в числителе является многочленом степени .

Производные арктангенса со второго по пятый порядок

Вычислим производные арктангенса нескольких высших порядков, используя формулу (2). Для этого мы используем формулу бинома Ньютона:
.
Также используем свойства мнимой единицы:
;
;
.
И так далее.

Производная второго порядка.
При имеем:
;
;
.

Производная третьего порядка.
При имеем:
;
;
.

Производная четвертого порядка.
При получаем:
;
;
.

Наконец, вычислим производную пятого порядка.
Подставим :

;
;
.

Другой вид производных арктангенса высших порядков

Оказывается, что формулу производной арктангенса n-го порядка можно представить в удобном виде, если выразить производную не через независимую переменную x, а через сам арктангенс.

Итак, пусть
.
Используем формулу (2) производной n-го порядка:
(2)   .
Подставим :
;
;

;
.
Применим формулу Эйлера. Тогда
;
;
;

.

Тем самым мы получили производную арктангенса n-го порядка, выраженную через сам арктангенс:
(3)   .
Здесь   .

Производные высших порядков арккотангенса

Чтобы получить производные высших порядков арккотангенса, воспользуемся связью между арктангенсом и арккотангенсом:
(4)   .
Дифференцируя это уравнение n раз и учитывая, что производная постоянной равна нулю, получим производную арккотангенса n-го порядка:
(5)   .

Другой вид производных арккотангенса высших порядков

Пусть
.
Выразим производную n-го порядка арккотангенса через z. Для этого можно подставить в (5) . Но мы используем формулу (3) для n-ой производной арктангенса и формулу (4), связывающую арккотангенс с арктангенсом. Пусть
.
Тогда . Подставим в (3):
(3)   ;
.
Далее замечаем, что
;
.
Тогда
(6)   .
Это и есть искомая формула производной n-го порядка арккотангенса.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано: