Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Экспонента, е в степени х

Приведены основные свойства, график экспоненты (е в степени х), область определения, множество значений, основные формулы, производная экспоненты, интеграл, разложение в степенной ряд, действия с комплексными числами.

Определение

Экспонента – это показательная функция y(x) = e x, производная которой равна самой функции.

Экспоненту обозначают как   ,     или   .

Число е

Основанием степени экспоненты является число е. Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Выражение числа е через предел последовательности

Число е можно выразить через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:

Выражение числа е в виде ряда

График экспоненты

График экспоненты е в степени х На графике представлена экспонента, е в степени х.
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е.

;
;
;

.

Выражение показательной функции через экспоненту:
.

См. также раздел "Показательная функция" >>>

Частные значения

Пусть y(x) = e x. Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1.

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x.
Ее область определения:
– ∞ < x + ∞.
Ее множество значений:
0 < y < + ∞.

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

  y = е х
Область определения – ∞ < x < + ∞
Область значений 0 < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает
Нули, y = 0 нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 1
+ ∞
0

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм.
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х:
.

Интеграл


См. также раздел "Таблица неопределенных интегралов" >>>

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

;   ;
.

Выражения через тригонометрические функции

;   ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Опубликовано:   Изменено: