Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Обратные гиперболические функции, их графики и формулы

Даны определения обратных гиперболических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные гиперболические функции - формулы сумм и разностей. Выражения через тригонометрические функции. Производные, интегралы, разложения в ряды.

Определения обратных гиперболических функций, их области определений и значений

arsh x - обратный гиперболический синус

Обратный гиперболический синус (ареасинус),   – это функция, обратная к гиперболическому синусу ( x = sh y ), имеющая область определения   – ∞ < x < ∞   и множество значений   – ∞ < y < ∞.

Ареасинус монотонно возрастает на всей числовой оси.

arch x - обратный гиперболический косинус

Обратный гиперболический косинус (ареакосинус),   – это функция, обратная к гиперболическому косинусу ( x = сh y ), имеющая область определения   1 ≤  x < ∞   и множество значений   0 ≤  y < ∞.

Ареакосинус монотонно возрастает на своей области определения.

Вторая ветвь ареакосинуса также определена при x ≥ 1 и расположена симметрично относительно оси абсцисс,   – ∞ < y ≤ 0 :
. Она монотонно убывает на области определения.

arth x - обратный гиперболический тангенс

Обратный гиперболический тангенс (ареатангенс),   – это функция, обратная к гиперболическому тангенсу ( x = th y ), имеющая область определения   1 < x < 1   и множество значений   – ∞ < y < ∞.

Ареатангенс монотонно возрастает на своей области определения.

arcth x - обратный гиперболический котангенс

Обратный гиперболический котангенс (ареакотангенс),   – это функция, обратная к гиперболическому котангенсу ( x = cth y ), имеющая область определения   |x| > 1   и множество значений   y ≠ 0.

Ареакотангенс монотонно убывает на своей области определения.

Графики обратных гиперболических функций

График функции y=arsh(x)

График обратного гиперболического синуса (ареасинуса)   y = arsh x
График функции y=arch(x)

График обратного гиперболического косинуса (ареакосинуса)   y = arch x ,   x ≥ 1
Пунктиром показана вторая ветвь ареккосинуса.
График функции y=arth(x)

График обратного гиперболического тангенса (ареатангенса)   y = arth x ,   |x| < 1
График функции y=arcth(x)

График обратного гиперболического котангенса (ареакотангенса)   y = arcth x ,   |x| > 1

Формулы с обратными гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

Arsh iz = i Arcsin z ;     Arch z = i Arccos z
Arcsin iz = i Arsh z ;     Arccos z = – i Arch z
Arth iz = i Arctg z ;     Arcth iz = – i Arcctg z
Arctg iz = i Arth z ;     Arcctg iz = – i Arcth z
Здесь   i – мнимая единица,   i2 = –1.

Четность

arsh(–x) = – arsh x;   arch(–x) ≠ ± arch x.
arth(–x) = – arth x;   arcth(–x) = – arcth x.

Функции   arsh(x),   arth(x),   arcth(x) – нечетные. Функция   arch(x)   – не является четной или нечетной.

Формулы связи обратных гиперболических синусов через тангенсы и косинусов через котангенсы





Формулы суммы и разности





Производные обратных гиперболических функций

;
.

Интегралы от arsh x, arch x, arth x, arcth x

arsh x

Для вычисления интеграла от гиперболического арксинуса, делаем подстановку   x = sh t   и интегрируем по частям:
.

arch x

Аналогично, для гиперболического арккосинуса. Делаем подстановку   x = ch t   и интегрируем по частям учитывая, что t ≥ 0:
.

arth x

Делаем подстановку   x = th t   и интегрируем по частям:
;
;
;

arcth x

Аналогично получаем:

Разложения в ряды

arsh x

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение:
;

arth x

При   |x| < 1   имеет место следующее разложение:
;

arcth x

При   |x| > 1   имеет место следующее разложение:
;

Обратные функции

Гиперболический синус

При   – ∞ < y < ∞   и   – ∞ < x < ∞   имеют место формулы:
,
.

Гиперболический косинус

При   1 ≤ y < ∞   и   0 ≤ x < ∞   имеют место формулы:
,
.

Гиперболический тангенс

При   1 < y < 1   и   – ∞ < x < ∞   имеют место формулы:
,
.

Гиперболический котангенс

При   – ∞ < y < – 1   или   1 < y < ∞   и   x ≠ 0   имеют место формулы:
,
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Опубликовано: