Основные виды неравенств и их свойства

Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.

Формулы основных неравенств

Формулы универсальных неравенств

Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.

1)   | a ± b | ≤ |a| + |b|;   | a₁ ± a₂ ± ... ± a_n | ≤ |a₁| + |a₂| + ... + |a_n|.
Доказательство.
.

2)   |a| + |b| ≥ | a – b | ≥ | |a| – |b| |.
Доказательство. Первое неравенство доказано в пункте 1). Доказываем второе.

.

3)  
Равенство имеет место только при a₁ = a₂ = ... = a_n.

Доказательство. Докажем, что , где .
При имеем:
.
Применяем метод индукции. Пусть . Тогда



.

4)   Неравенство Коши - Буняковского

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α a_k = β b_k для всех k = 1, 2, ..., n и некоторых α, β, |α| + |β| > 0.

5)   Неравенство Минковского, при p ≥ 1

Формулы выполнимых неравенств

Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.

1)   Неравенство Бернулли:
;
.
В более общем виде:
,
где , числа одного знака и больше, чем –1: .
Лемма Бернулли:
.
См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли».

2)  
при a_i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n).

3)   Неравенство Чебышева
при 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и 0 < b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b_n
.
При 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и b₁ ≥ b₂ ≥ ... ≥ b_n > 0
.

4)   Обобщенные неравенства Чебышева
при 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и 0 < b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b_n и k натуральном
.
При 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и b₁ ≥ b₂ ≥ ... ≥ b_n > 0
.

Свойства неравенств

Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях x_i (i = 1, 2, 3, 4), принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.

1)   При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный.
Если x₁ < x₂, то x₂ > x₁.
Если x₁ ≤ x₂, то x₂ ≥ x₁.
Если x₁ ≥ x₂, то x₂ ≤ x₁.
Если x₁ > x₂, то x₂ < x₁.

2)   Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака.
Если x₁ = x₂, то x₁ ≤ x₂ и x₁ ≥ x₂.
Если x₁ ≤ x₂ и x₁ ≥ x₂, то x₁ = x₂.

3)   Свойство транзитивности
Если x₁ < x₂ и x₂ < x₃, то x₁ < x₃.
Если x₁ < x₂ и x₂ ≤ x₃, то x₁ < x₃.
Если x₁ ≤ x₂ и x₂ < x₃, то x₁ < x₃.
Если x₁ ≤ x₂ и x₂ ≤ x₃, то x₁ ≤ x₃.

4)   К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число.
Если x₁ < x₂, то x₁ + A < x₂ + A.
Если x₁ ≤ x₂, то x₁ + A ≤ x₂ + A.
Если x₁ ≥ x₂, то x₁ + A ≥ x₂ + A.
Если x₁ > x₂, то x₁ + A > x₂ + A.

5)   Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить.
Если x₁ < x₂, x₃ < x₄, то x₁ + x₃ < x₂ + x₄.
Если x₁ < x₂, x₃ ≤ x₄, то x₁ + x₃ < x₂ + x₄.
Если x₁ ≤ x₂, x₃ < x₄, то x₁ + x₃ < x₂ + x₄.
Если x₁ ≤ x₂, x₃ ≤ x₄, то x₁ + x₃ ≤ x₂ + x₄.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство ( но все знаки имеют одинаковое направление ), то при сложении получается строгое неравенство.

6)   Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число.
Если x₁ < x₂ и A > 0, то A · x₁ < A · x₂.
Если x₁ ≤ x₂ и A > 0, то A · x₁ ≤ A · x₂.
Если x₁ ≥ x₂ и A > 0, то A · x₁ ≥ A · x₂.
Если x₁ > x₂ и A > 0, то A · x₁ > A · x₂.

7)   Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
Если x₁ < x₂ и A < 0, то A · x₁ > A · x₂.
Если x₁ ≤ x₂ и A < 0, то A · x₁ ≥ A · x₂.
Если x₁ ≥ x₂ и A < 0, то A · x₁ ≤ A · x₂.
Если x₁ > x₂ и A < 0, то A · x₁ < A · x₂.

8)   Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга.
Если x₁ < x₂, x₃ < x₄, x₁, x₂, x₃, x₄ > 0 то x₁ · x₃ < x₂ · x₄.
Если x₁ < x₂, x₃ ≤ x₄, x₁, x₂, x₃, x₄ > 0 то x₁ · x₃ < x₂ · x₄.
Если x₁ ≤ x₂, x₃ < x₄, x₁, x₂, x₃, x₄ > 0 то x₁ · x₃ < x₂ · x₄.
Если x₁ ≤ x₂, x₃ ≤ x₄, x₁, x₂, x₃, x₄ > 0 то x₁ · x₃ ≤ x₂ · x₄.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство ( но все знаки имеют одинаковое направление ), то при умножении получается строгое неравенство.

9)   Пусть f(x) - монотонно возрастающая функция. То есть при любых x₁ > x₂, f(x₁) > f(x₂). Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится.
Если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂).
Если x₁ ≤ x₂, то f(x₁) ≤ f(x₂).
Если x₁ ≥ x₂, то f(x₁) ≥ f(x₂).
Если x₁ > x₂, то f(x₁) > f(x₂).

10)   Пусть f(x) - монотонно убывающая функция, То есть при любых x₁ > x₂, f(x₁) < f(x₂). Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Если x₁ < x₂, то f(x₁) > f(x₂).
Если x₁ ≤ x₂, то f(x₁) ≥ f(x₂).
Если x₁ ≥ x₂, то f(x₁) ≤ f(x₂).
Если x₁ > x₂, то f(x₁) < f(x₂).

Методы решения неравенств

Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x, и оно имеет вид:
f(x) > 0
где f(x) - непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤.

Метод интервалов заключается в следующем.

1)   Находим область определения функции f(x) и отмечаем ее интервалами на числовой оси.

2)   Находим точки разрыва функции f(x). Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси.

3)   Решаем уравнение
f(x) = 0.
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.

4)   В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“. Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „–“.

5)   Если неравенство имеет вид: f(x) > 0, то выбираем интервалы с знаком „+“. Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0, то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0. То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0, то выбираем интервалы с знаком „–“. Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0, то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0.

Решение неравенств, применяя их свойства

Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-09-2014   Изменено: 16-12-2019