Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Основные виды неравенств и их свойства

Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.

Формулы основных неравенств

Формулы универсальных неравенств

Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.

1)   | a + b | ≤ |a| + |b|;   | a1 + a2 + ...an | ≤ |a1| + |a2| + ... + |an|

2)   |a| + |b| ≥ | a – b | ≥ | |a| – |b| |

3)  
Равенство имеет место только при a1 = a2 = ... = an.

4)   Неравенство Коши - Буняковского

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α ak = β bk для всех k = 1, 2, ..., n и некоторых α, β, |α| + |β| > 0.

5)   Неравенство Минковского, при p ≥ 1

Формулы выполнимых неравенств

Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.

1)  
при ai ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n).

2)   Неравенство Чебышева
при 0 < a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an и 0 < b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn
.
При 0 < a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an и b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn > 0
.

3)   Обобщенные неравенства Чебышева
при 0 < a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an и 0 < b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn и k натуральном
.
При 0 < a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an и b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn > 0
.

Свойства неравенств

Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях xi (i = 1, 2, 3, 4), принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.

1)   При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный.
Если x1 < x2, то x2 > x1.
Если x1 ≤ x2, то x2 ≥ x1.
Если x1 ≥ x2, то x2 ≤ x1.
Если x1 > x2, то x2 < x1.

2)   Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака.
Если x1 = x2 то x1 ≤ x2 и x1 ≥ x2.
Если x1 ≤ x2 и x1 ≥ x2 то x1 = x2.

3)   Свойство транзитивности
Если x1 < x2 и x2 < x3, то x1 < x3.
Если x1 < x2 и x2 ≤ x3, то x1 < x3.
Если x1 ≤ x2 и x2 < x3, то x1 < x3.
Если x1 ≤ x2 и x2 ≤ x3, то x1 ≤ x3.

4)   К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число.
Если x1 < x2, то x1 + A < x2 + A.
Если x1 ≤ x2, то x1 + A ≤ x2 + A.
Если x1 ≥ x2, то x1 + A ≥ x2 + A.
Если x1 > x2, то x1 + A > x2 + A.

5)   Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить.
Если x1 < x2, x3 < x4, то x1 + x3 < x2 + x4.
Если x1 < x2, x3 ≤ x4, то x1 + x3 < x2 + x4.
Если x1 ≤ x2, x3 < x4, то x1 + x3 < x2 + x4.
Если x1 ≤ x2, x3 ≤ x4, то x1 + x3 ≤ x2 + x4.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство ( но все знаки имеют одинаковое направление ), то при сложении получается строгое неравенство.

6)   Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число.
Если x1 < x2 и A > 0, то A · x1 < A · x2.
Если x1 ≤ x2 и A > 0, то A · x1 ≤ A · x2.
Если x1 ≥ x2 и A > 0, то A · x1 ≥ A · x2.
Если x1 > x2 и A > 0, то A · x1 > A · x2.

7)   Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
Если x1 < x2 и A < 0, то A · x1 > A · x2.
Если x1 ≤ x2 и A < 0, то A · x1 ≥ A · x2.
Если x1 ≥ x2 и A < 0, то A · x1 ≤ A · x2.
Если x1 > x2 и A < 0, то A · x1 < A · x2.

8)   Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга.
Если x1 < x2, x3 < x4, x1, x2, x3, x4 > 0 то x1 · x3 < x2 · x4.
Если x1 < x2, x3 ≤ x4, x1, x2, x3, x4 > 0 то x1 · x3 < x2 · x4.
Если x1 ≤ x2, x3 < x4, x1, x2, x3, x4 > 0 то x1 · x3 < x2 · x4.
Если x1 ≤ x2, x3 ≤ x4, x1, x2, x3, x4 > 0 то x1 · x3 ≤ x2 · x4.
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство ( но все знаки имеют одинаковое направление ), то при умножении получается строгое неравенство.

9)   Пусть f(x) - монотонно возрастающая функция. То есть при любых x1 > x2, f(x1) > f(x2). Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится.
Если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).
Если x1 ≤ x2, то f(x1) ≤ f(x2).
Если x1 ≥ x2, то f(x1) ≥ f(x2).
Если x1 > x2, то f(x1) > f(x2).

10)   Пусть f(x) - монотонно убывающая функция, То есть при любых x1 > x2, f(x1) < f(x2). Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Если x1 < x2, то f(x1) > f(x2).
Если x1 ≤ x2, то f(x1) ≥ f(x2).
Если x1 ≥ x2, то f(x1) ≤ f(x2).
Если x1 > x2, то f(x1) < f(x2).

Методы решения неравенств

Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x, и оно имеет вид:
f(x) > 0
где f(x) - непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤.

Метод интервалов заключается в следующем.

1)   Находим область определения функции f(x) и отмечаем ее интервалами на числовой оси.

2)   Находим точки разрыва функции f(x). Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси.

3)   Решаем уравнение
f(x) = 0.
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.

4)   В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“. Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „–“.

5)   Если неравенство имеет вид: f(x) > 0, то выбираем интервалы с знаком „+“. Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0, то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0. То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0, то выбираем интервалы с знаком „–“. Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0, то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0.

Решение неравенств, применяя их свойства

Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Опубликовано: