Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Показательная функция, ее график, свойства, формулы

Приведены основные свойства, график показательной функции, область определения, множество значений, основные формулы, промежутки возрастания и убывания. Рассмотрено дифференцирование показательной функции и нахождение ее производной. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение

Показательная функция это функция y(x) = a x, зависящая от показателя степени x, при некотором фиксированном значении основании степени a.

Область определения показательной функции, множество значений

Рассмотрим показательную функцию
y(x) = a x .
В дальнейшем будем считать, что основание степени a является положительным числом:
a > 0 .
Тогда функция y(x) = a x определена для всех x. Ее область определения:
– ∞ < x < + ∞.
При a ≠ 1 она имеет множество значений
0 < y < + ∞
При a = 1 показательная функция является постоянной
y = 1

График показательной функции

График показательной функции На графике представлены значения показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a, тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a, тем более сильное убывание.

Свойства показательной функции

Основные формулы

Когда показатель степени x есть натуральное число x = n, выражение an есть произведение n множителей:

an = a·a·a· ... ·a
 n раз

Для произвольного значения x показательная функция определяется так, что обладает всеми свойствами натурального показателя степени.

a^p dot a^q~=~a^{p+q}
(a^p)^q~=~a^pq~=~(a^q)^p
a^{-p}~=~1/{a^p};~~~{a^p}/{a^q}~=~a^{p-q}
(ab)^p~=~a^p~b^q;~~~(a/b)^p~=~{a^p}/{b^q}

a^{log_{a} x} ~=~ x;~~~ log_{a} (a^x) ~=~x

Формула преобразования показательной функции к показательной функции с другим основанием степени.
a^{x} ~=~ b^{x dot log_b a}
При b = e, получаем выражение показательной функции через экспоненту.
a^{x} ~=~ e^{x dot ln a}

Частные значения

Пусть y(x) = a x. Тогда
y(0)~=~a^0~=~1;~~~y(1)~=~a^1~=~a;~~~y(-1)~=~a^{-1}~=~1/a

Экстремумы, возрастание, убывание

Показательная функция является монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

  y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1
Область определения – ∞ < x + ∞ – ∞ < x + ∞
Область значений 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает
Нули, y = 0 нет нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 1 y = 1
lim{x right +infty}{a^x} + ∞ 0
lim{x right minus infty}{a^x} 0 + ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a. Если    y~=~a^x;~~~(a~>~0,~a~<>~1),   то
x~=~log_a{y}

Если    y~=~log_a{x};~~~(x~>~0,~a~>~0,~a~<>~1),   то
x~=~a^y

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции нужно привести ее основание к числу e, применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
a = eln a и формулу из таблицы производных:
(ex) = ex

Пусть задана показательная функция:
y(x) = a x
Приводим ее к основанию e:
y~=~a^x~=~(e^{ln{a}})^x~=~e^{ln{a} dot x}
Применим правило дифференцирования сложной функции. Для этого вводим переменную
z = ln a · x.
Тогда
y~=~a^x~=~e^{ln{a} dot x}~=~e^z
По таблице производных:
dy/dz~=~(e^z)^,~=~e^z
Поскольку ln a - это постоянная, то производная z по x равна:
dz/dx~=~(ln{a} dot x)^,~=~ln{a} dot (x)^,~=~ln{a} dot 1~=~ln{a}
По правилу дифференцирования сложной функции:
dy/dx~=~dy/dz dot dz/dx~=~e^z dot ln{a}~=~a^x dot ln{a}

Производная показательной функции

(a^x)^, ~=~ ln{a}~dot~a^x

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 35x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e.
3 = eln 3
Тогда
y~=~3^{5x}~=~e^{ln{3}dot 5x}~=~e^{5ln{3}dot x}
Вводим переменную
z = 5ln 3 · x.
Тогда
y~=~3^{5x}~=~e^{5ln{3}dot x}~=~e^z
По таблице производных:
dy/dz~=~(e^z)^,~=~e^z
Поскольку 5ln 3 – это постоянная, то производная z по x равна:
dz/dx~=~(5ln{3} dot x)^,~=~5ln{3} dot (x)^,~=~5ln{3} dot 1~=~5ln{3}
По правилу дифференцирования сложной функции:
dy/dx~=~dy/dz dot dz/dx~=~e^z dot 5ln{3}~=~3^{5x} dot 5ln{3}

Ответ

dy/dx~=~5ln{3} dot 3^{5x}

Интеграл

int{~}{~}{a^x dx}~=~int{~}{~}{e^{ln{a}dot x} dx}~=~1/{ln{a}} int{~}{~}{e^{ln{a}dot x} d(ln{a}dot x)}~=~1/{ln{a}} e^{ln{a}dot x}~+~C

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
f(z) = a z
где z = x + iy;     i2 = – 1.
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ:
a = r e i φ
Тогда
f(z)~=~(r e^{i varphi})^(x+iy)~=~r^(x+iy) e^{i varphi(x+iy)}~=~r^x r^iy e^{i varphi x minus varphi y}~=~
~=~r^x (e^{ln{r}})^iy e^{i varphi x} e^{minus varphi y}~=~r^x e^{iy ln{r}} e^{i varphi x} e^{minus varphi y}~=~r^x e^{minus varphi y} e^{i(y ln{r} + varphi x)}~=~
~=~r^x e^{minus varphi y} delim{[}{cos(y ln{r} + varphi x)~+~}{~}delim{~}{i sin(y ln{r} + varphi x) }{]}
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ0 + 2πn,
где n – целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Очень часто рассматривают ее главное значение
f(x)~=~r^x e^{minus varphi_0 y} delim{[}{cos(y ln{r} + varphi_0 x)~+~}{~}delim{~}{i sin(y ln{r} + varphi_0 x)}{]}

Разложение в ряд

a^x~=~e^{ln{a}dot x}~=~sum{n=0}{infty}{ ~~{ (ln{a}dot x)^n}/{n!} }~=~
~=~1~+~ln{a}dot x~+~{ (ln{a}dot x)^2}/{2!}~+~{ (ln{a}dot x)^3}/{3!}~+~{ (ln{a}dot x)^4}/{4!}~+~...~=
~=~1~+~ln{a}dot x~+~{ ln^2{a}}/{2!}~dot~x^2~+~{ ln^3{a}}/{3!}~dot~x^3~+~{ ln^4{a}}/{4!}~dot~x^4~+~...

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Опубликовано: