Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Тригонометрическая формула Виета для решения кубических уравнений

Здесь мы приводим вывод формулы Виета, используя формулу Кардано. Будет показано, что по формуле Виета удобно находить корни кубического уравнения в том случае, когда все три корня являются действительными числами.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1)   .
Сделаем подстановку:
.
Получаем уравнение приведенного вида:
(2)   ,
где
(3)   ;   .

Тригонометрическая формула Виета, для корней , , приведенного кубического уравнения (2), имеет вид:
(4)   ;
(5)   ;
где
(6)   ;   .

Условие применимости формулы Виета

Поскольку , то формула Виета применима при
.

Действительно, из (6) имеем:
;   .
Возводим в квадрат и выполняем преобразования:
;
;
.

Как показано на странице “Решение кубических уравнений”, при выполнении условия , кубическое уравнение имеет три действительных корня. То есть формула Виета применяется в том случае, когда кубическое уравнение имеет действительные корни.

Вывод формулы Виета

Для вывода формулы Виета, используем формулу Кардано:
(7)   ;
(8)   ;
(9)   ;
(10)   ;
(11)   .

Считаем, что .
Из (11) следует, что в этом случае, . Квадратный корень из имеет два значения. Мы можем взять любое значение. Возьмем со знаком плюс (при выборе другого значения, со знаком минус, и поменяются местами и мы не получим ничего нового):
.
Тогда
,
где – целое. Здесь мы ввели модуль и аргумент числа .
;
;
;   .

Извлекаем кубический корень:
.
При , мы имеем три значения кубического корня.
По формуле (10) находим:
.
По формуле (7) имеем:
.

Полагая , мы получаем три корня приведенного уравнения:
;
;
.

Формула Виета доказана.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Опубликовано: