Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Степенная функция и корни, формулы и график

Приведены основные формулы степенной функции, а также формулы и свойства корней. Приведен график степенной функции с различным значением показателя степени. Представлены производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел степенной функции.

Определение

Степенная функция с натуральным показателем степени n это число x, возведенное в степень n. То есть произведение n сомножителей числа x:
.

Формулы со степенной функцией

Для произвольного значения показателя степени, степенная функция определяется так, что обладает всеми свойствами натурального показателя степени.

При x, y > 0 имеют место следующие формулы:



Корни - определение, формулы, свойства

Корень из числа  x  степени  n  это число   , возведение которого в степень  n  дает  x :
.
Здесь n = 1, 2, 3, ... - натуральное число.

Другими словами, функция является обратной к функции .

Четная степень

Для четных степеней  n, корень определен при x ≥ 0. Очень часто используется формула, справедливая как для положительных, так и для отрицательных x:
.
Для квадратного корня:
.

Здесь важен порядок, в котором выполняются операции - то есть сначала производится возведение в квадрат, в результате чего получается не отрицательное число, а затем из него извлекается корень (из неотрицательного числа можно извлекать квадратный корень). Если бы мы изменили порядок: , то при отрицательных x корень был бы не определен, а вместе с ним не определено и все выражение.

Нечетная степень

Для нечетных степеней  n, корень определен для всех x;
;
.

Свойства и формулы корней

Корень из  x  является степенной функцией:
.
Остальные формулы корней вытекают из свойств степенной функции. При x ≥ 0 имеют место следующие формулы:


,     y ≥ 0
,     y > 0

Эти формулы также могут быть применимы и для отрицательных x, y. Нужно только следить за тем, чтобы подкоренное выражение четных степеней не было отрицательным.

Частные значения

Корень 0 равен 0.   .
Корень 1 равен 1.   .

Квадратный корень из числа  x  – это корень степени 2:  .
Кубический корень из числа  x  – это корень степени 3:  .

Квадратный корень 0 равен 0.   .
Квадратный корень 1 равен 1.   .

Пример - корень из корней

Рассмотрим пример квадратного корня из корня:
.
Преобразуем внутренний квадратный корень из квадратного корня, применяя приведенные выше формулы:
.
Теперь преобразуем исходный квадратный корень из квадратных корней:
.
Итак,
.

График степенной функции

График степенной функции

График степенной функции   y = x p   при различных значениях показателя степени p.

Обратная функция

Обратной для степенной функции с показателем p является степенная функция с показателем 1/p.

Если    ,   то    .

Производная от степенной функции

Интеграл от степенной функции

,   p ≠ – 1;
.

Разложение в степенной ряд

При   1 < x < 1   имеет место следующее разложение:

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного переменного z:
f(z) = z t.
Выразим комплексную переменную число z через модуль r и аргумент φ   ( r = |z| ):
z = r e i φ.
Комплексное число t представим в виде действительной и мнимой частей:
t = p + i q.
Имеем:

Далее учтем, что аргумент φ определен не однозначно:
,

Рассмотрим случай, когда q = 0, то есть показатель степени - действительное число, t = p.   Тогда
.

Если p - целое, то и kp - целое. Тогда, в силу периодичности тригонометрических функций:
.
То есть показательная функция при целом показателе степени, для заданного z, имеет только одно значение и поэтому является однозначной.

Если p - иррациональное, то произведения kp ни при каком k не дают целого числа. Поскольку k пробегает бесконечный ряд значений k = 0, ±1, ±2, ±3, ..., то функция z p имеет бесконечно много значений. Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2 π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции.

Если p - рациональное, то его можно представить в виде:
, где m, n - целые, не содержащие общих делителей. Тогда
.
Первые n величин, при k = k0 = 0, 1, 2, ... n-1, дают n различных значений kp:
.
Однако последующие величины дают значения, отличающиеся от предыдущих на целое число. Например, при k = k0 + n имеем:
.
Тригонометрические функции, аргументы которых различаются на величины, кратные 2π, имеют одинаковые значения. Поэтому при дальнейшем увеличении k мы получаем те же значения z p, что и для k = k0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Таким образом, показательная функция с рациональным показателем степени является многозначной и имеет n значений (ветвей). Всякий раз, когда аргумент z получает приращение 2π (один оборот), мы переходим на новую ветвь функции. Через n таких оборотов мы возвращаемся на первую ветвь, с которой начинался отсчет.

В частности, корень степени n имеет n значений. В качестве примера рассмотрим корень n – й степени действительного положительного числа z = x. В этом случае φ0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Так, для квадратного корня, n = 2,
.
Для четных k, (1)k = 1. Для нечетных k, (1)k = – 1.
То есть квадратный корень имеет два значения:   +   и   – .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Опубликовано: