Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Степенная функция, ее свойства и графики

Представлены свойства и графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Основные формулы, области определения и множества значений, четность, монотонность, возрастание и убывание, экстремумы, выпуклость, перегибы, точки пересечения с осями координат, пределы, частные значения.

Формулы со степенной функцией

При x, y > 0 имеют место следующие формулы:





Свойства степенных функций и их графики

Далее мы рассматриваем степенную функцию
y(x) = x p .

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0, то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1,   x ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...

Рассмотрим степенную функцию   y = x p = x n   с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, .... Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, ... – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции с натуральным нечетным показателем

График степенной функции   y = x n   с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ....

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   –∞ < y < ∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность:   монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при   –∞ < x < 0 выпукла вверх
при   0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов:   x = 0,   y = 0
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,
y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k+1 = –1
при x = 0,   y(0) = 0 n = 0
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1, функция является обратной к самой себе:   x = y
при n ≠ 1, обратной функцией является корень степени n:  

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...

Рассмотрим степенную функцию   y = x p = x n   с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, .... Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k, где k = 1, 2, 3, ... – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции с натуральным четным показателем

График степенной функции   y = x n   с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ....

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   0 ≤ y < ∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум,   x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k = 1
при x = 0,   y(0) = 0 n = 0
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2, квадратный корень:  
при n ≠ 2, корень степени n:  

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...

Рассмотрим степенную функцию   y = x p = x n   с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, .... Если положить n = –k, где k = 1, 2, 3, ... – натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции с целым отрицательным показателем

График степенной функции   y = x n   с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ....

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...

Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ....

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y ≠ 0
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0:   выпукла вверх
при x > 0:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0
Пределы:
;   ;   ;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –1,  
при n < –2,  

Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...

Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ....

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y > 0
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0:   монотонно возрастает
при x > 0:   монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:   y > 0
Пределы:
;   ;   ;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –2,  
при n < –2,  

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию   y = x p   с рациональным (дробным) показателем степени , где n – целое, m > 1 – натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

Знаменатель дробного показателя - нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени     нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x. Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p < 0

Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: .

Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем

Графики степенных функций     с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...

Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем   ,   где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y ≠ 0
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0:   выпукла вверх
при x > 0:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0
Пределы:
;   ;   ;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...

Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем   ,   где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   x ≠ 0
Множество значений:   y > 0
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0:   монотонно возрастает
при x > 0:   монотонно убывает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Знак:   y > 0
Пределы:
;   ;   ;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1,   y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1
График степенной функции с рациональным показателем от 0 до 1

График степенной функции     с рациональным показателем (0 < p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...

Представлены свойства степенной функции   y = x p   с рациональным показателем   ,   находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < +∞
Множество значений:   –∞ < y < +∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при x < 0:   выпукла вниз
при x > 0:   выпукла вверх
Точки перегибов:   x = 0,   y = 0
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Знак:
при x < 0,   y < 0
при x > 0,   y > 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = –1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем   ,   находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 2, 4, 6, ... – четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < +∞
Множество значений:   0 ≤ y < +∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0:   монотонно убывает
при x > 0:   монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум при x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Знак:   при x ≠ 0,   y > 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = 1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:

Показатель p больше единицы, p > 1
График степенной функции с показателем больше 1

График степенной функции     с рациональным показателем (p > 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...

Свойства степенной функции   y = x p   с рациональным показателем, большим единицы:   .   Где n = 5, 7, 9, ... – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   –∞ < y < ∞
Четность:   нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность:   монотонно возрастает
Экстремумы:   нет
Выпуклость:
при   –∞ < x < 0 выпукла вверх
при   0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = –1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:  

Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...

Свойства степенной функции   y = x p   с рациональным показателем, большим единицы:   .   Где n = 4, 6, 8, ... – четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... – нечетное натуральное.

Область определения:   –∞ < x < ∞
Множество значений:   0 ≤ y < ∞
Четность:   четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы:   минимум при   x = 0,   y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:
;  
Частные значения:
при x = –1,   y(–1) = 1
при x = 0,   y(0) = 0
при x = 1,   y(1) = 1
Обратная функция:  

Знаменатель дробного показателя - четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию   y = x p   с иррациональным показателем степени p. Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x. Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

График степенной функции с иррациональным показателем

График степенной функции   y = x p   с иррациональным показателем при различных значениях показателя степени p.

Степенная функция с отрицательным показателем p < 0

Область определения:   x > 0
Множество значений:   y > 0
Монотонность:   монотонно убывает
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   нет
Пределы:   ;  
Частное значение:   При x = 1,   y(1) = 1p = 1

Степенная функция с положительным показателем p > 0

Показатель меньше единицы 0 < p < 1

Область определения:   x ≥ 0
Множество значений:   y ≥ 0
Монотонность:   монотонно возрастает
Выпуклость:   выпукла вверх
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:  
Частные значения:   При x = 0,   y(0) = 0 p = 0.
При x = 1,   y(1) = 1 p = 1

Показатель больше единицы p > 1

Область определения:   x ≥ 0
Множество значений:   y ≥ 0
Монотонность:   монотонно возрастает
Выпуклость:   выпукла вниз
Точки перегибов:   нет
Точки пересечения с осями координат:   x = 0,   y = 0
Пределы:  
Частные значения:   При x = 0,   y(0) = 0 p = 0.
При x = 1,   y(1) = 1 p = 1

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Опубликовано: