Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Тангенс (tg x) и котангенс (ctg x) – свойства, графики, формулы

Справочник по тригонометрическим функциям. Тангенс (tg x) и котангенс (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

Прямоугольный треугольник


|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A.
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB|.
Котангенс (ctg α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC|.

Тангенс

,    где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x

График функции y=tg(x)

Котангенс

,    где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x

График функции y=ctg(x)

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции   y = tg x   и   y = ctg x   периодичны с периодом   π.

Четность

Функции тангенс и котангенс – нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

  y = tg x y = ctg x
Область определения
Область значений –∞ ≤ y ≤ +∞ –∞ ≤ y ≤ +∞
Возрастание –
Убывание –
Экстремумы – –
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 –

Формулы

Выражения через синус и косинус

;     ;
;     ;
;    

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности



Остальные формулы легко получить, например


Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

Таблица тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.
Таблица тангенсов и котангенсов

Выражения через комплексные числа



Выражения через гиперболические функции

;    
;    

Производные

;     .

Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > >;     для котангенса > > >

Интегралы


Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x, нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга,   . При этом получаются следующие формулы.





где Bn – числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где   .
Либо по формуле Лапласа:
B_n = (-1)^n \, n! \left| \begin{matrix} \frac1{2!} & 1 & 0 & ... & 0 \\ \frac1{3!} & \frac1{2!} & 1 & ... & 0 \\ \frac1{4!} & \frac1{3!} & \frac1{2!} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ \frac1{(n+1)!} & \frac1{n!} & \frac1{(n-1)!} & ... & \frac12 \\ \end{matrix} \right|

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс, соответственно.

Арктангенс, arctg


,   где n - целое.

Арккотангенс, arcctg


,   где n - целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Опубликовано:   Изменено: