Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Подстановки Эйлера

Показано, что интегралы с рациональными функциями от квадратного корня из квадратичного многочлена сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановок Эйлера. Даны три подстановки Эйлера и рекомендации по их применению. Разобран пример вычисления интеграла с помощью подстановки Эйлера.

Три подстановки Эйлера

Рассмотрим интегралы, подынтегральное выражение которых является рациональной функцией от переменной интегрирования и квадратного корня из квадратного многочлена.
,

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
 , при a > 0;
 , при c > 0;
 , где x1 – любой корень уравнения a x2 + b x + c = 0. Если это уравнение имеет действительные корни.

Также можно применять подстановки:
 , при a > 0;
 , при c > 0;

которые отличаются изменением знака перед t.

Выбор подстановки Эйлера

Как видно, для вычисления интеграла, можно применять не одну подстановку Эйлера. Все они приводят к интегралу от рациональной функции. Выбор в пользу той или иной подстановки следует делать, чтобы упростить вычисления.

Так, если подынтегральное выражение содержит комбинацию , то следует выбрать подстановку Эйлера:
.
Поскольку в этом случае сразу получается более простое выражение:

А если подынтегральное выражение содержит комбинацию , то следует выбрать подстановку Эйлера:
.
Поскольку в этом случае:

Доказательство

Докажем, что подстановки Эйлера приводят к интегралу от рациональной функции.

1) a > 0

Пусть a > 0. Делаем подстановку:

Возводим в квадрат.

Вычитаем из обеих частей равенства ax 2 и преобразовываем.


Отсюда видно, что x является рациональной функцией от t

Также и дифференциал dx будет произведением рациональной функции от t на dt. И квадратный корень

– тоже рациональная функция от t.

То есть, при такой подстановке, подынтегральное выражение будет рациональной функцией от переменной интегрирования t.

2) c > 0

Пусть c > 0. Делаем подстановку:

Возводим в квадрат.

Вычитаем из обеих частей равенства c и делим на x.



Отсюда видно, что x является рациональной функцией от t

Также и дифференциал dx будет произведением рациональной функции от t на dt. И квадратный корень

– тоже рациональная функция от t.

То есть, при такой подстановке, подынтегральное выражение будет рациональной функцией от переменной интегрирования t.

3) Уравнение имеет действительные корни

Пусть уравнение a x2 + b x + c = 0 имеет действительные корни x1, x2. Тогда
a x2 + b x + c = a(x – x1)(x – x2)
Делаем подстановку:

Возводим в квадрат.

Делим на x – x1 и преобразовываем.


Отсюда видно, что x является рациональной функцией от t

Также и дифференциал dx будет произведением рациональной функции от t на dt. И квадратный корень

– тоже рациональная функция от t.

То есть, при такой подстановке, подынтегральное выражение будет рациональной функцией от переменной интегрирования t.

Пример применения подстановки Эйлера

В качестве примера, вычислим интеграл

применяя одну из подстановок Эйлера.

Решение примера

Здесь a = 1 > 0. В соответствии со сказанным выше, для решения примера, выбираем подстановку:

Поскольку при такой подстановке, подынтегральное выражение сразу упростится

Возводим в квадрат и преобразовываем.




Берем дифференциал.


Преобразуем знаменатель.

Подставляем.

Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:

Умножаем на t(2t + 1)2

Подставляем t = 0,   t = –1/2,   t = – 1.
2 = A

2 = A – B + C
Отсюда
А = 2

C = 2 – A + B = 2 – 2 – 3 = – 3
Итак, мы получили разложение дроби на простейшие:

Интегрируем

Ответ


где

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано: