Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Вычисление интегралов тригонометрическими и гиперболическими подстановками

Рассмотрено решение интегралов от рациональной функции с квадратным корнем из квадратного двучлена с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. Даны формулы тригонометрических и гиперболических подстановок и примеры вычисления интегралов.

Рассмотрим интегралы вида
,
где R – рациональная функция. То есть функция, составленная из своих аргументов и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, умножения и деления. Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. В ряде случаев, такой метод вычисления интегралов является самым простым.

Предварительные преобразования

Для применения тригонометрических и гиперболических подстановок, нужно привести квадратный двучлен к сумме или разности квадратов, выполняя следующее преобразование:


После чего подстановкой
,
в зависимости от значений постоянных p, q, r, интеграл приводится к одному из трех видов:
;
;
.

Далее мы считаем, что a > 0.

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Суть метода состоит в том, чтобы применяя формулы:
,
,
свести квадратный корень к рациональным тригонометрическим или гиперболическим функциям. И тем самым, все подынтегральное выражение будет рациональной тригонометрической или гиперболической функцией. Методы вычисления таких интегралов даны на странице Интегрирование тригонометрических рациональных функций > > >.

Иногда такие подстановки приводят к более коротким вычислениям, чем другие методы.

Ниже приводятся формулы для основных тригонометрических и гиперболических подстановок. Для их применения важно помнить, что квадратный корень имеет неотрицательное значение. Поэтому например,   . Если   , то мы пишем:   . Для положительных значений t мы выбираем верхний знак ( в данном примере ′+′). Для отрицательных – нижний знак (′–′).

Также упомянем еще следующее обстоятельство. Некоторые подстановки охватывают не все значения области определения переменной интегрирования x. Например подстановка x = a ch t,   a > 0,   t ≥ 0 дает значения интеграла при x ≥ a. Чтобы получить значения интеграла при x ≤ – a, нужно сделать вторую подстановку x = – a ch t,   t ≥ 0. Вместе эти подстановки можно записать в виде:
x = ± a ch t.
Тогда во всех последующих формулах верхний знак будет относиться к положительным x, а нижний – к отрицательным.

1. Интегралы с корнем из   a 2 – x 2

Рассмотрим интеграл:
,   a > 0.

1.1. Подстановка x = a sin t

;
;
.

1.2. Подстановка x = a th t

;
;
.

1.3. Подстановка x = a / ch t

;
;
.
Для положительных x нужно брать верхний знак. Для отрицательных – нижний.

2. Интегралы с корнем из   x 2 + a 2

Рассмотрим интеграл:
,   a > 0.

2.1. Подстановка x = a sh t

;
;
.

2.2. Подстановка x = a tg t

;
;
.

2.3. Подстановка x = a / sh t

;
;
.
Для положительных t нужно брать верхний знак. Для отрицательных – нижний.

3. Интегралы с корнем из   x 2 – a 2

Рассмотрим интеграл:
,   a > 0.

3.1. Подстановка x = a ch t

;
;
.
Положительным x соответствует верхний знак. Отрицательным – нижний.

3.2. Подстановка x = a cth t

;
;
.
Для положительных t нужно брать верхний знак. Для отрицательных – нижний.

3.3. Подстановка x = a / sin t

;
;
.
Для положительных t нужно брать верхний знак. Для отрицательных – нижний.

Примеры

Пример 1

Решить интеграл:
.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Делаем тригонометрическую подстановку
;
;
.

.

Решение с помощью гиперболической подстановки

Делаем гиперболическую подстановку
;
;
.
Здесь и далее, верхний знак соответствует положительным x. Нижний – отрицательным. Подставляем.

.

Выразим t через x. Из формулы подстановки ,
.
Для гиперболического арккосинуса имеем формулу (см. Обратные гиперболические функции, их графики и формулы > > >):
.
Тогда
;

Ответ

Пример 2

Решить интеграл:
.

Решение с помощью гиперболической подстановки

Наиболее просто этот интеграл вычисляется с помощью гиперболической подстановки
;
;
.
Подставляем.


(См. Обратные гиперболические функции, их графики и формулы > > >).

Входящую под знаком логарифма дробь можно преобразовать:
.

Ответ

.

Опубликовано: