Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Основные формулы и методы интегрирования

Основные формулы и методы интегрирования. Правило интегрирования суммы или разности. Вынесение постоянной за знак интеграла. Метод замены переменной. Формула интегрирования по частям. Пример решения задачи.

Ниже перечислены четыре основных метода интегрирования.

1)   Правило интегрирования суммы или разности.
.
Здесь и далее u, v, w – функции от переменной интегрирования x.

2)   Вынесение постоянной за знак интеграла.
Пусть c – постоянная, не зависящая от x. Тогда ее можно вынести за знак интеграла.

См. подробнее: Вычисление интегралов от многочленов >>>

3)   Метод замены переменной.
Рассмотрим неопределенный интеграл   .
Если удастся подобрать такую функцию φ(x) от x, так что
,
то, выполнив замену переменной t = φ(x), имеем
.

См. подробнее: Интегрирование методом замены переменной >>>

4)   Формула интегрирования по частям.
,
где u и v – это функции от переменной интегрирования.

См. подробнее: Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям >>>

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов – это, путем преобразований, привести заданный интеграл к простейшим интегралам, которые называются табличными. Табличные интегралы выражаются через элементарные функции по известным формулам.
См. Таблица интегралов >>>

Пример

Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Замечаем, что подынтегральная функция является суммой и разностью трех членов:
,     и   .
Применяем метод 1.

Далее замечаем, что подынтегральные функции новых интегралов умножены на постоянные 5, 4, и 2, соответственно. Применяем метод 2.

В таблице интегралов находим формулу
.
Полагая n = 2, находим первый интеграл.

Перепишем второй интеграл в виде
.
Замечаем, что   . Тогда

Применяем третий метод. Делаем замену переменной   t = φ(x) = ln x.
.
В таблице интегралов находим формулу

Поскольку переменная интегрирования может обозначаться любой буквой, то

Перепишем третий интеграл в виде
.
Применяем формулу интегрирования по частям.
Положим   .
Тогда
;
;

;
;
.

Окончательно имеем
.
Соберем члены с   x3.
.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано: