Интегрирование методом замены переменной
Метод замены переменной
С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.
Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x, переходим к другой переменной, которую обозначим как t. При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t), или t = t(x). Например, x = ln t, x = sin t, t = 2x + 1, и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t, чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.
Основная формула замены переменной
Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx: . Пусть мы переходим к новой переменной t, выбрав некоторое соотношение x = x(t). Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t.
Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t, нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t).
Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt.
Тогда
.
На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x). Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x) – это производная t по x, то
.
Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x – это функция от t.
(2) ,
где t – это функция от x.
Важное замечание
В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x. Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое-либо выражение.
В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.
Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.
В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x, дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.
В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.
Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x2 + x. Тогда
;
;
.
Примеры интегрирования
Все примеры Ниже рассмотрены примеры вычислений следующих интегралов:
1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x)′ = cos x. Тогда
.
Здесь мы применили подстановку t = sin x.
2) Вычислим интеграл (Все примеры)
.
Замечаем, что . Тогда
.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x.
3) Проинтегрируем (Все примеры)
.
Замечаем, что . Тогда
. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x2 + 1.
Линейные подстановки
Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b,
где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.
Примеры интегрирования линейными подстановками
A) Вычислить интеграл (Все примеры)
.
Решение.
.
B) Найти интеграл (Все примеры)
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции.
.
ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.
.
C) Вычислить интеграл (Все примеры)
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.
.
D) Найти интеграл (Все примеры)
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.
.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .
.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.
E) Вычислить интеграл (Все примеры)
.
Решение.
Применим формулу произведения синуса и косинуса.
;
.
Интегрируем и делаем подстановки.
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: