Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком

Приводится доказательство того, что если степень многочлена числителя дроби превышает или равна степени многочлена знаменателя, то такую дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Подробно разобраны примеры деления многочленов уголком (столбиком) и умножения многочленов столбиком.

Теорема

Пусть Pk(x), Qn(x) – многочлены от переменной x степеней k и n, соответственно, причем k ≥ n. Тогда многочлен Pk(x) можно представить единственным способом в следующем виде:
(1)   Pk(x) = Sk–n(x) Qn(x) + Un–1(x),
где Sk–n(x) – многочлен степени k–n, Un–1(x) – многочлен степени не выше n–1, или нуль.

Доказательство

По определению многочлена:
;
;
;
,
где pi , qi – известные коэффициенты, si , ui – неизвестные коэффициенты.

Введем обозначение:
.
Подставим в (1)   :
;
(2)   .
Первый член в правой части – это многочлен степени k. Сумма второго и третьего членов – это многочлен степени не выше k – 1. Приравняем коэффициенты при x k:
pk = sk-n qn.
Отсюда sk-n = pk / qn.

Преобразуем уравнение (2):
.
Введем обозначение:   .
Поскольку sk-n = pk / qn, то коэффициент при x k равен нулю. Поэтому   – это многочлен степени не выше k – 1,   . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3)   .

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1), только значение k стало на 1 меньше. Повторяя эту процедуру k–n раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена Un–1(x).

Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты si , ul. Причем sk–n0. Лемма доказана.

Деление многочленов

Разделив обе части уравнения (1) на Qn(x), получим:
(4)   .
По аналогии с десятичными числами, Sk–n(x) называется целой частью дроби или частным, Un–1(x) – остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.

Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.

Деление многочленов уголком

По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10. Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10. Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.

Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.

Пример деления многочленов уголком

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Решение

Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе – многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2, то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):

\begin{array}{l|l} {\raise -.7em{-}} 2x^4-10x^3+23x^2-22x-3 & \underline{x^2-3x+5}\\ \phantom{-} \underline{2x^4-\phantom{1}6x^3+10x^2} & 2x^2-4x+1 \\ \phantom{2x^4 1} {\raise -.7em{-}} -4x^3+13x^2-22x-3 \\ \phantom{x^4--} \underline{-4x^3+12x^2-20x}\\ \phantom{x^4-6x^3-+12} {\raise -.7em{-}} x^2-\phantom{0}2x-3 \\ \phantom{x^4-6x^3--+12} \underline{x^2-\phantom{0}3x+5} \\ \phantom{x^4-6x^3+x^2---+12} x-8 \end{array}

Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.

\begin{array}{l|l} 2x^4-10x^3+23x^2-22x-3 & \underline{x^2-3x+5}\\ \phantom{-} & \phantom{2x^2-4x+1} \end{array}

1.1   Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя:   .

\begin{array}{l|l} 2x^4-10x^3+23x^2-22x-3 & \underline{x^2-3x+5}\\ \phantom{-} & 2x^2 \phantom{-4x+1} \end{array}

1.2   Умножаем 2x 2 на x 2 – 3x + 5:
. Результат записываем в левый столбик:

\begin{array}{l|l} \phantom{\raise -.7em{-}} 2x^4-10x^3+23x^2-22x-3 & \underline{x^2-3x+5}\\ \phantom{-} 2x^4-\phantom{1}6x^3+10x^2 & 2x^2\phantom{-4x+1} \end{array}

1.3   Берем разность многочленов в левом столбике:

.

\begin{array}{l|l} {\raise -.7em{-}} 2x^4-10x^3+23x^2-22x-3 & \underline{x^2-3x+5}\\ \phantom{-} \underline{2x^4-\phantom{1}6x^3+10x^2} & 2x^2\phantom{-4x+1} \\ \phantom{2x^4 1} \phantom{\raise -.7em{-}} -4x^3+13x^2-22x-3 \end{array}
Итак, мы получили промежуточный результат:
.

Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1   Разделим старший член числителя на старший член знаменателя:   ;
\begin{array}{l|l} {\raise -.7em{-}} 2x^4-10x^3+23x^2-22x-3 & \underline{x^2-3x+5}\\ \phantom{-} \underline{2x^4-\phantom{1}6x^3+10x^2} & 2x^2-4x\phantom{+1} \\ \phantom{2x^4 1} \phantom{\raise -.7em{-}} -4x^3+13x^2-22x-3 \end{array}

2.2   Умножаем на знаменатель:   ;

2.3   И вычитаем из последней строки левого столбика:   ;
\begin{array}{l|l} {\raise -.7em{-}} 2x^4-10x^3+23x^2-22x-3 & \underline{x^2-3x+5}\\ \phantom{-} \underline{2x^4-\phantom{1}6x^3+10x^2} & 2x^2-4x\phantom{+1} \\ \phantom{2x^4 1} {\raise -.7em{-}} -4x^3+13x^2-22x-3 \\ \phantom{x^4--} \underline{-4x^3+12x^2-20x}\\ \phantom{x^4-6x^3-+12} \phantom{\raise -.7em{-}} x^2-\phantom{0}2x-3 \end{array}
Промежуточный результат:
.

Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1   ;
3.2   ;
3.3   ;
\begin{array}{l|l} {\raise -.7em{-}} 2x^4-10x^3+23x^2-22x-3 & \underline{x^2-3x+5}\\ \phantom{-} \underline{2x^4-\phantom{1}6x^3+10x^2} & 2x^2-4x+1 \\ \phantom{2x^4 1} {\raise -.7em{-}} -4x^3+13x^2-22x-3 \\ \phantom{x^4--} \underline{-4x^3+12x^2-20x}\\ \phantom{x^4-6x^3-+12} {\raise -.7em{-}} x^2-\phantom{0}2x-3 \\ \phantom{x^4-6x^3--+12} \underline{x^2-\phantom{0}3x+5} \\ \phantom{x^4-6x^3+x^2---+12} x-8 \end{array}
Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 < 2. Поэтому дробь – правильная.

Ответ

;
2x 2 – 4x + 1 – это целая часть;
x – 8 – остаток от деления.

Пример 2

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Решение

Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:

Здесь остаток от деления равен нулю:
.

Ответ

.

Умножение многочленов столбиком

Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример умножения многочленов столбиком

Найти произведение многочленов:
.

Решение

Умножаем многочлены столбиком.

1   Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1   Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2   Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

2.3   Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

3   После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x:
;
;
;
.

Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:

Ответ

.

Пример 2

Найти произведение многочленов столбиком:
.

Решение

При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.

В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.

\begin{array}{l} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\; x^3+0\cdot x^2-\;\;\, 2x+\;7 \\ \underline{ \qquad\qquad\qquad\qquad\times\quad x^3+\;\;\, 3x^2+0\cdot x-\;5} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\; -5x^3+0\cdot x^2+10x-35 \\ \qquad\quad 3x^5+0\cdot x^4-6x^3+21x^2 \\ \underline{x^6+0\cdot x^5-\;\;\,2x^4+7x^3 \qquad \qquad \qquad \quad \quad\;\;\;} \\ x^6+\;\;3x^5-\;\;\,2x^4-4x^3+21x^2+10x-35 \end{array}

1   Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1   Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2   Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.

2.3   Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

2.3   Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

3   После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x:
.

Ответ

.

Опубликовано: