Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Интегрирование простейших (элементарных) дробей

Формулы для вычисления интегралов от простейших (элементарных) дробей. Формула приведения и ее вывод. Пример.

Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x можно разложить на многочлен и простейшие (элементарные) дроби. Имеется два вида простейших дробей:
1)   ;
2)   ,
где a, A, B, b, c – действительные числа. И уравнение
x 2 + bx + c = 0
не имеет действительных корней.

1) Интегрирование первой дроби

Первая дробь подстановкой t = x – a приводится к табличным интегралам:
,
, n ≠ – 1.

.

.

2) Интегрирование второй дроби

Интегрирование второй дроби более сложно и выполняется в несколько приемов. Сначала мы вычисляем интеграл
,
где .

Если n > 1, то вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения
.

И, наконец, выделяя в числителе производную трехчлена знаменателя, находим исходный интеграл:
.

Далее мы приводим вывод этих формул и пример вычисления интеграла от простейшей (элементарной) дроби.

Шаг 1. A = 0, n = 1

Сначала вычислим самый простой интеграл:
.

Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где   .
Мы считаем, что уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет корней. Поэтому   .

Сделаем подстановку
,
.
.

Итак,
.

Шаг 2. A = 0, n > 1

Теперь рассмотрим интеграл:
.

Делаем ту же подстановку.
.
.

Выполняем преобразования и интегрируем по частям.




.

Умножим на 2(n – 1):
.
Возвращаемся к x и In.
,
;
;
.

Итак, для In мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл In к I1.

Шаг 3. Вычисление исходного интеграла

Теперь вычисляем исходный интеграл
.

Для этого в числителе дроби выделим производную от трехчлена знаменателя. Обозначим: u = x 2 + bx + c. Дифференцируем: u′ = 2x + b. Тогда
.

.
Но
.

Окончательно имеем:
.

Пример

Вычислить интеграл

Решение

1. Вычисляем интеграл от самой простой дроби.

.

2. Применяем формулу приведения:

для интеграла   .
В нашем случае b = 1, c = 1, 4c – b 2 = 3. Выписываем эту формулу для n = 2 и n = 3:
;
.
Отсюда

.

3. Выделяем в числителе исходного интеграла производную от трехчлена знаменателя и вычисляем исходный интеграл.
,
,


.
Находим коэффициент при   .
.

Ответ

.

Опубликовано: