Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Примеры разложения многочленов на множители

Примеры с решением квадратного уравнения. Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул. Возвратные многочлены. Многочлены с целыми корнями.

1. Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

Разложить многочлен на множители:
x4 + x3 – 6x2.

Решение

Выносим x2 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x2 + x – 6 = 0:
.
Корни уравнения:
,   .

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Ответ

.

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени:
x3 + 6x2 + 9x.

Решение

Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x2 + 6x + 9 = 0:
Его дискриминант:   .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Ответ

.

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени:
x5 – 2x4 + 10x3.

Решение

Выносим x3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x2 – 2x + 10 = 0.
Его дискриминант:   .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
,   .

Разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.

Ответ

.

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители:
x4 +x2 – 20.

Решение

Применим формулы:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;
a2 – b2 = (a – b)(a + b).

;
.

Ответ

.

Пример 2.2

Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x8 +x4 + 1.

Решение

Применим формулы:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;
a2 – b2 = (a – b)(a + b):

;

;
.

Ответ

.

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен:
.

Решение

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = –1. Делим многочлен на x – (–1) = x + 1. В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
,   ;
;


;
.

Ответ

.

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6.
Подставляем поочередно эти значения:
(–6)3 – 6·(–6)2 + 11·(–6) – 6 = –504;
(–3)3 – 6·(–3)2 + 11·(–3) – 6 = –120;
(–2)3 – 6·(–2)2 + 11·(–2) – 6 = –60;
(–1)3 – 6·(–1)2 + 11·(–1) – 6 = –24;
13 – 6·12 + 11·1 – 6 = 0;
23 – 6·22 + 11·2 – 6 = 0;
33 – 6·32 + 11·3 – 6 = 0;
63 – 6·62 + 11·6 – 6 = 60.

Итак, мы нашли три корня:
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.
Поскольку исходный многочлен – третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.

Ответ

.

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–2, –1, 1, 2.
Подставляем поочередно эти значения:
(–2)4 + 2·(–2)3 + 3·(–2)3 + 4·(–2) + 2 = 6;
(–1)4 + 2·(–1)3 + 3·(–1)3 + 4·(–1) + 2 = 0;
14 + 2·13 + 3·13 + 4·1 + 2 = 12;
24 + 2·23 + 3·23 + 4·2 + 2 = 54.

Итак, мы нашли один корень:
x1 = –1.
Делим многочлен на x – x1 = x – (–1) = x + 1:
\begin{array}{l|l} {\raise -.7em{-}} x^4+2x^3+3x^2+4x+2 & \underline{x+1 \phantom{5x+6} }\\ \phantom{-} \underline{x^4+x^3} & x^3+x^2+2x+2 \\ \phantom{x^4+\;} {\raise -.7em{-}} x^3+3x^2+4x+2 \\ \phantom{x^4-\,-} \underline{x^3+x^2}\\ \phantom{x^4-6x^3\;\,} {\raise -.7em{-}} 2x^2+4x+2 \\ \phantom{x^4-6x^3-:} \underline{2x^2+2x} \\ \phantom{x^4-6x^3 6x--} {\raise -.7em{-}} 2x+2 \\ \phantom{-x^4+2x^3+3x^2\;\;} \underline{2x+2} \\ \phantom{-x^4+2x^3+3x^2+2x\;\;} 0 \end{array}
Тогда,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли еще один корень x2 = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен     на   , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Ответ

.

Опубликовано: