Методы разложения рациональных дробей на простейшие

Приведены наиболее эффективные методы разложения правильных рациональных дробей, составленных из многочленов, на простейшие. Рассмотрены характерные примеры разложения дробей.

Пусть у нас имеется правильная рациональная дробь многочленов от переменной x:
,
где Р_m(x) и Q_n(x) – многочлены степеней m и n, соответственно, m < n. Мы считаем, что нам известно разложение многочлена Q_n(x) на множители:
Q_n(x) = s (x-a)^n_a (x-b)^n_b ... (x²+ex+f)^n_e (x²+gx+k)^n_g ... .
См. подробнее: Методы разложения многочленов на множители >>>
Примеры разложения многочленов на множители >>>

Далее мы приводим наиболее эффективные методы разложения правильной рациональной дроби на простейшие.

Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие

Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие следующий:
.
Здесь A_i, B_i, E_i, ... – действительные числа (неопределенные коэффициенты), которые нужно определить.

Например,
.
Здесь A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.

Еще один пример:
.

Методы разложения рациональной дроби на простейшие

Сначала мы записываем разложение с неопределенными коэффициентами в общем виде. . Затем освобождаемся от знаменателей дробей, умножая уравнение на знаменатель исходной дроби Q_n. В результате получаем уравнение, содержащее и слева и справа многочлены от переменной x. Это уравнение должно выполняться для всех значений x. Далее существует три основных метода определения неопределенных коэффициентов.

1)   Можно присвоить переменной x определенные значения. Задавая несколько таких значений, мы получим систему уравнений, из которой можно определить неизвестные коэффициенты A_i, B_i, ....
2)   Поскольку полученное уравнение и слева и справа содержит многочлены, то можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной x. Из полученной системы можно определить неопределенные коэффициенты.
3)   Можно продифференцировать уравнение и присвоить переменной x определенные значения.

На практике, удобно комбинировать эти методы. Разберем их применение на конкретных примерах.

Пример

Разложить правильную рациональную дробь на простейшие.

Решение

1.   Устанавливаем общий вид разложения.
(1.1)   ,
где A, B, C, D, E – коэффициенты, которые нужно определить.

2.   Избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим уравнение на знаменатель исходной дроби (x–1) ³(x–2)(x–3). В результате получаем уравнение:
(1.2)  
.

3.   Подставим в (1.2) x = 1. Тогда x – 1 = 0. Остается
.
Отсюда   .
Подставим в (1.2) x = 2. Тогда x – 2 = 0. Остается
.
Отсюда   .
Подставим x = 3. Тогда x – 3 = 0. Остается
.
Отсюда   .

4.   Осталось определить два коэффициента: B и C. Это можно сделать тремя способами.
1)   Подставить в формулу (1.2) два определенных значения переменной x. В результате получим систему из двух уравнений, из которой можно определить коэффициенты B и C.
2)   Открыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x.
3)   Продифференцировать уравнение (1.2) и присвоить переменной x определенное значение.

В нашем случае, удобно применить третий способ. Возьмем производную от левой и правой частей уравнения (1.2), и подставим x = 1. При этом замечаем, что члены, содержащие множители (x–1) ² и (x–1) ³ дают нуль, поскольку, например,
,   при x = 1.
В произведениях вида (x–1)g(x), дифференцировать нужно только первый множитель, поскольку
.
При x = 1 второй член обращается в нуль.

Дифференцируем (1.2) по x и подставляем x = 1:
;
;
;
3 = –3A + 2B; 2B = 3 + 3A = 6; B = 3.

Итак, мы нашли B = 3. Остается найти коэффициент C. Поскольку при первом дифференцировании мы отбросили некоторые члены, то дифференцировать второй раз уже нельзя. Поэтому применим второй способ. Поскольку нам нужно получить одно уравнение, то нам не нужно находить все члены разложения уравнения (1.2) по степеням x. Мы выбираем самый легкий член разложения – x ⁴.

Выпишем еще раз уравнение (1.2):
(1.2)  
.
Раскрываем скобки и оставляем только члены вида x ⁴.
.
Отсюда 0 = C + D + E, C = – D – E = 6 – 3/2 = 9/2.

Сделаем проверку. Для этого определим C первым способом. Подставим в (1.2) x = 0:
0 = 6A – 6B+ 6C + 3D + 2E;
;
. Все правильно.

Ответ

Определение коэффициента при старшей степени 1/(x–a)

В предыдущем примере мы сразу определили коэффициенты у дробей , , , присваивая, в уравнении (1.2), переменной x значения x = 1, x = 2 и x = 3. В более общем случае, всегда можно сразу определить коэффициент при старшей степени дроби вида   .

То есть если исходная дробь имеет вид:
,
то коэффициент при     равен   . Таким образом, разложение по степеням     начинается с члена   .

Поэтому в предыдущем примере мы сразу могли искать разложение в виде:


.

В некоторых простых случаях, можно сразу определить коэффициенты разложения. Например,


.

Пример с комплексными корнями знаменателя

Теперь разберем пример, в котором знаменатель имеет комплексные корни.

Пусть требуется разложить дробь на простейшие:
.

Решение

1.   Устанавливаем общий вид разложения:
.
Здесь A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.

2.   Освобождаемся от знаменателей дробей. Для этого умножаем уравнение на знаменатель исходной дроби   :
(2.1)   .

3.   Заметим, что уравнение x ² + 1 = 0 имеет комплексный корень x = i, где i – комплексная единица, i ² = –1. Подставим в (2.1), x = i. Тогда члены, содержащие множитель x ² + 1 дают 0. В результате получаем:
;
.
Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
–A + B = –1, A + B = –1.
Складываем уравнения:
2B = –2, B = –1, A = –B –1 = 1 – 1 = 0.
Итак, мы нашли два коэффициента: А = 0, B = –1.

4.   Заметим, что x + 1 = 0 при x = –1. Подставим в (2.1), x = –1:
;
2 = 4E, E = 1/2.

5.   Далее удобно подставить в (2.1) два значения переменной x и получить два уравнения, из которых можно определить C и D. Подставим в (2.1) x = 0:
0 =B + D + E, D = –B – E = 1 – 1/2 = 1/2.

6.   Подставим в (2.1) x = 1:
0 = 2(A + B) + 4(C + D) + 4E;
2(C + D) = –A – B – 2E = 0;
C = –D = –1/2.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 26-04-2015