Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Интегрирование тригонометрических рациональных функций

Представлены методы интегрирования тригонометрических рациональных функций. Подробно рассмотрены три примера интегрирования таких функций.

Методы интегрирования тригонометрических рациональных функций

Рассмотрим интегралы от тригонометрических рациональных функций:
,
где R – рациональная функция, то есть функция, составленная из операций сложения, деления и возведения в целочисленную степень. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы (поскольку они получаются операциями деления синуса и косинуса). Их, чаще всего, стоит преобразовать через синусы и косинусы.

В зависимости от вида подынтегральной функции, применяют несколько методов интегрирования тригонометрических рациональных функций.

Подстановки t = sin x или t = cos x

Если R( cos x, sin x ) умножается на   –1 при замене
cos x  →  – cos x или sin x  →  – sin x ,
то полезно другую из них обозначить через t.

Так, при подстановке
t = cos x ,
dt = (cos x )′ dx = – sin x dx,
sin2 x = 1 – cos2 x = 1 – t 2.

При подстановке
t = sin x ,
dt = (sin x )′ dx = cos x dx,
cos2 x = 1 – sin2 x = 1 – t 2.

Подстановка t = tg x

Если R( cos x, sin x ) не меняется при одновременной замене
cos x  →  – cos x и sin x  →  – sin x ,
то полезно положить tg x = t или ctg x = t.

Пусть t = tg x, тогда
,
,
,
.

Подстановка t = tg(x/2)

Подстановка

во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби.

При этом
,
,
,
,
,
.

Итак,
.

Эта подстановка является универсальной и позволяет во всех случаях привести интегралы от тригонометрических рациональных функций к интегралам от рациональных функций. К сожалению, эта подстановка приводит к более длинным вычислениям, чем предыдущие, если они применимы.

Интегралы с произведением степенных функций от cos x и sin x

Часто встречаются интегралы, в которых подынтегральная функция является произведением степенных функций от синуса и косинуса:

При целых m и n подынтегральная функция является тригонометрической рациональной функцией и, для ее интегрирования, применимы перечисленные выше методы. Однако, в виду особенности, существует ряд дополнительных методов, которые, в некоторых случаях, позволяют упростить вычисление таких интегралов.
Подробнее >>>

Примеры

Ниже подробно рассмотрены три примера интегрирования рациональных тригонометрических функций.

Пример 1

Вычислить интеграл

Решение

Подынтегральная функция

является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрических функций sin x и cos x. Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x.

Заменим cos x на – cos x:

Вся функция умножилась на   –1 .

По правилу 1, делаем подстановку:
t = sin x.
Тогда
dt = (sin x)′ dx = cos x dx.

Подставляем в интеграл:

Получили интеграл от рациональной функции (дроби из многочленов). Выделяем целую часть и разложим дробь на простейшие:
.
Интегрируем:

Ответ

Пример 2

Определить интеграл

Решение

Подынтегральная функция

является дробью, состоящей из многочленов от тригонометрической функции sin x. Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x.

Заменим sin x на – sin x:

Функция не изменилась.

Заменим cos x на – cos x. Поскольку подынтегральная функция не зависит от cos x, то при этой замене она также не меняется.

Согласно второму правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
t = tg x.
;
;
.
Применим формулу sin2 x + cos2 x = 1 и разделим числитель и знаменатель на cos2 x.
.
Подставляем и раскладываем дробь на простейшие:
.

Ответ

Пример 3

Решить интеграл

Решение

Подынтегральная функция

является дробью, состоящей из многочлена от тригонометрических функций sin x и cos x. Поэтому она является рациональной функцией от sin x и cos x.

Если заменить sin x на – sin x или cos x на – cos x, то функция меняет вид, поэтому правила 1 или 2 не применимы.

Согласно третьему правилу, приведенному выше, делаем подстановку:
.
;
.
Преобразуем знаменатель, применяя формулы:
,
,
.
.

.

Приводим знаменатель к сумме квадратов:
.

Подставляем:

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано: