Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов для студентов

Представлена таблица основных неопределенных интегралов для студентов, а также интегралы, связанные с гиперболическими функциями. Даны основные методы интегрирования.

Основные формулы

При нахождении неопределенных интегралов важную роль играет таблица основных неопределенных интегралов. Ее удобно помнить в таком виде:
int{~}{~}{x^n dx}~=~{x^{n+1}}/{n+1}~+~C;~~~n~<>~minus 1;~~~int{~}{~}{0^{~} dx}~=~C;~~~int{~}{~}{ {~}^{~} dx}~=~x~+~C;
int{~}{~}{ {dx}/x }~=~ln{delim{|}{~x~}{|} }~+~C;
int{~}{~}{ e^x~dx }~=~e^x~+~C;
int{~}{~}{ a^x~dx }~=~{a^x}/{ln{a}}~+~C~~~(a~>~0,~~~a~<>~1);
int{~}{~}{ sin{x^{~}}dx }~=~minus~cos{x}~+~C;
int{~}{~}{ cos{x^{~}}dx }~=~sin{x}~+~C;
int{~}{~}{ {dx}/{cos^2{x}} }~=~tg{x}~+~C;
int{~}{~}{ {dx}/{sin^2{x}} }~=~minus~ctg{x}~+~C;
int{~}{~}{ {dx}/{sqrt{a^2 minus x^2}} }~=~arcsin{~x/a}~+~C~~~(a~>~0);
(~arcsin{~x/a}~=~pi/2~minus~arccos{~x/a}~)
int{~}{~}{ {dx}/{sqrt{x^2 pm a^2}} }~=~ln{delim{|}{ x+sqrt{x^2 pm a^2} }{|}}~+~C;
int{~}{~}{ {dx}/{x^2 + a^2} }~=~1/a~arctg{~x/a}~+~C;
int{~}{~}{ {dx}/{x^2 minus a^2} }~=~1/{2a}~ln{delim{|}{ ~{x minus a}/{x +a} }{|}}~+~C;

Интегралы, связанные с гиперболическими функциями

Дополнительные формулы, имеющие отношение к гиперболическим функциям:
int{~}{~}{ sh{x^{~}}dx }~=~ch{x}~+~C;
int{~}{~}{ ch{x^{~}}dx }~=~sh{x}~+~C;
int{~}{~}{ {dx}/{ch^2{x}} }~=~th{x}~+~C;
int{~}{~}{ {dx}/{sh^2{x}} }~=~minus~cth{x}~+~C;
int{~}{~}{ {dx}/{sqrt{x^2 + a^2}} }~=~arsh{~x/a}~+~C;~~~(a~>~0);
int{~}{~}{ {dx}/{sqrt{x^2 minus a^2}} }~=~arch{~{x}/a}~+~C;~~~(a~>~0);
int{~}{~}{ {dx}/{x^2 minus a^2} }~=~minus~1/a~arth{~x/a}~+~C;~~~delim{|}{x}{|}~<~a;~~~a~>~0;
int{~}{~}{ {dx}/{x^2 minus a^2} }~=~minus~1/a~arcth{~x/a}~+~C;~~~delim{|}{x}{|}~>~a;~~~a~>~0;

Основные методы интегрирования

Далее u, v, w - это функции от x; c - постоянная.
int{~}{~}{ (u~pm~v~pm~w)dx }~=~int{~}{~}{ u^{~}dx }~pm~int{~}{~}{v^{~}dx }~pm~int{~}{~}{ w^{~}dx };
int{~}{~}{ c~u^{~}dx }~=~c~int{~}{~}{u^{~}dx };
int{~}{~}{ u^{~}dv }~=~uv~minus~int{~}{~}{v^{~}du };
int{~}{~}{ f(x)~dx }~=~int{~}{~}{ f(varphi(t))varphi^,(t)~dt };~~~x~=~varphi(t).